Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(106.31) и
(е(|*), е;(Ж/))^с'(*; /). (106.32)
Здесь существенно, что конкретные линейно независимые базисные функции полностью определены в (106.30). Производя необходимые изменения, можно рассмотреть случай, когда
(106.21) больше 2.
Рассмотрим теперь случай, когда все повороты ср, не входят
\
одновременно во все три группы волновых векторов. Точнее* если данное значение k удовлетворяет условию
k = k" + k' + 2nBH,
то для операций симметрии, входящих в © (At) и не входящих в ®(k") и ©(?'), имеем
Ф, -Л = Ф .*" + Ф .*' + 2яВ'н, (106.33)
Л л Л
или
k = k"k + k'lk + 2nB'H. (106.34)
Чтобы построить теперь полную базисную функцию, мы должны применить оператор проектирования для определенных значений
306
Глава 10
(106.35)
и для всех значений %, для которых поворот ср;^ содержится в
ф(й) и не содержится в $(?") и ф(й')- Затем, собирая вместе все функции из (106.35) с фиксированными значениями ц и v', мы получаем тот базис, который нужно использовать при вычислении элементов «приведенной» матрицы:
Ясно, что проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, связана с полнотой процедуры приведения в методе подгруппы. Можно рекомендовать читателю вспомнить сопоставление методов полной группы и подгруппы и при решении конкретной задачи убедиться в полноте любых базисных функций, полученных нашим способом. Может оказаться, что такая процедура потребует решения всей задачи методом полной группы. При этом нужно начать с построения полного набора функций, относящегося к представлениям полной пространственной группы
Затем, применяя оператор проектирования к этой совокупности функций, можно найти набор функций, преобразующихся как 2(**) (т). к;ак обсуждалось в § 64, важно, что мы имеем дело с полным векторным пространством. Полноту следует тщательно проверить в (106.35) — (106.37).
Возможный эквивалентный метод рассмотрения элементов «приведенной» матрицы [54] основан на определении коэффициентов преобразования векторов, т, е. матриц, которые производят разложения прямого Произведения в прямую сумму. Когда писалась эта книга, казалось, что оба метода не имеют Ареиму-
ц, v — фиксированы, А,= 1, ...,
0vS> (/) = | Р&} фО ( ^ ) е( *'*•)|............ (106.37)
(106.38)
Применение теоретико-группового анализа
307
ществ друг перед другом. Проблема эта до сих- пор изучается, и можно ожидать дальнейших результатов и разъяснений.
Подведем итоги, В этом параграфе мы рассмотрели действие чисто унитарных операторов из группы ®(k) на базисные функции и, следовательно, на матричные элементы типа (106.20). Если мы хотим установить конкретный вид матричных элементов
(106.20) с фиксированными индексами (v, ц, v'), когда выполнено соотношение (106.21), то в зависимости от рассматриваемого случая мы ищем точное число независимых линейных комбинаций типа (106.24), (106.30) или (106.36), (106.37).
Обращая разложение (106.24), можно получить
(106.39)
Тогда скалярное произведение (106.20) оказывается записанным через элементы исходных приведенных матриц (106.25) с правильными, числовыми коэффициентами, как, например, (106.39). Такая же процедура, применяется, когда для получения правильных линейных комбинаций используются операторы проектирования; при этом по существу определяются матричные элементы U.
В любом случае искомые матричные элементы выражаются через набор ненулевых элементов «приведенных» матриц, число которых определяется коэффициентом приведения (106.21).
б. Учет антиунитарных элементов. Рассмотрим теперь, как учитывается действие антиунитарного оператора симметрии на матричные элементы. Основной вопрос опять состоит в том, как выразить заданные матричные элементы через наименьшее число независимых или приведенных матричных элементов. В последующем изложении предполагается, что ограничения, следующие из наличия унитарных элементов, уже учтены. Нас интересуют дополнительные ограничения, связанные с наличием как унитарных, так и антиунитарных элементов симметрии.
Рассмотрим сначала случай, когда антиунитарные элементы входят в S(k), т. е. мы рассмотрим звезды типа I и II. Для антиунитарных элементов основное соотношение (106.7), выражающее инвариантность скалярного произведения, неприменимо. Оно заменяется соотношением, утверждающим, что скалярное произведение собственных векторов, преобразованных антиуни-тарным элементом, является комплексно сопряженным исходному скалярному произведению:
°(ГИ U-^-vvv
k \ /lk \\ / /lk\ /lk \\*
308
Глава 10
Здесь Р — антиунитарный оператор из группы W(k). Так как
представления Z)<co*></), согласно § 101, 102 правую часть
(106.40) можно привести к виду
полученным выше результатам для унитарных операторов. Это весьма трудоемкие вычисления, и вместо того, чтобы делать их полностью, мы получим несколько результатов для простых скалярных произведений; более сложные случаи можно найти в литературе [84].
При рассмотрении даже простого скалярного произведения
(106.40) и (106.41) нужно различать несколько разных случаев для волновых векторов классов I и II. Поэтому рассмотрим случай, когда собственные векторы относятся к неприводимому представлению D(k) (m) группы @(ft) и копредставление относится к классу А, и их матрицы удовлетворяют соотношениям (98.57) и (98.58). Тогда (106.41) можно упростить с помощью соотношений
