Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В этом параграфе рассматриваются вопросы, связанные с распределением собственных значений в зоне, т. е. с плотностью состояний. Плотность состояний при заданной энергии Е равна числу различных собственных векторов динамической матрицы в интервале энергии между Е и Е + dE. Плотность состояний зависит от k. Критической точкой плотности состояний называется энергия Е или волновой вектор k, при которых плотность состояний имеет сингулярность. В частности в критической точке производная плотности состояний по энергии обращается в бесконечность. Краткое рассмотрение критических точек дано в книге Кохрана и Каули [8]; этот вопрос обсуждается также в работах [63, 85].
В этом параграфе демонстрируется применение методов теории групп для определения критических точек. С самого начала следует подчеркнуть, что учет симметрии не дает всех критических точек функции распределения частот для данного кристалла с определенной симметрией, а только выделяет некоторую совокупность критических точек, которую принято называть «критическими точками, обусловленными симметрией» [86]. Дополнительные критические точки возникают при определенных значениях силовых постоянных для данного материала; существование их Никак не связано с симметрией. Такие критические точки можно назвать «динамическими». Кроме того, существование критических точек следует из топологических соображений
[87], Применение теории Морса (анализа топологических мно-
Применение теоретико-группового анализа
313
гообразий) показывает, что существование некоторых критических точек плотности состояний, классифицированных согласно их индексам, требует существования определенного числа других критических точек с определенными индексами и что топологические свойства «йррстранства», в котором определена плотность состояний, требуют существования минимального набора таких критических точек [63,85].
В этом параграфе мы получим основные соотношения, согласно которым плотность состояний записывается в форме, удобной для выполнения анализа по симметрии и получения критических точек. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением представлений группы ®(k).
Уравнения движения в динамике кристаллической решетки имеют вид (79.7) или (85.1):
f ) = <о2(Л|/)е(| *). (107.1)
Jli / N I JU /
Из системы уравнений (107.1) в принципе можно определить полный набор 3rN частот. Для каждого численного значения квадрата частоты в (107.1) независимо от значений k и можно рассчитать число различных собственных векторов. Так как каждый собственный вектор соответствует определенному колебательному состоянию, число таких собственных векторов, соответствующее данному численному значению со2, является числом состояний с этой энергией. Хотя это вполне приемлемый и часто употребляемый способ численного расчета плотности состояний, он неудобен с точки зрения анализа по симметрии. Напомним [4], что при наличии вырождения удобно относить индекс j или jц к определенной ветви колебательного спектра решетки. Поэтому любой ветви (при фиксированном /) соответствует N состояний, по одному для каждого значения k в зоне Бриллюэна. В схеме приведенных зон, которой мы будем пользоваться, функция ©2(Л|У) многозначна: каждому k соответствует 3г значений индекса ветви.
Пусть частоты решетки упорядочены так, что мы можем выделить /-ю ветвь (/’=1, ..., 3г). Индекс /-й ветви, вообще говоря, однозначен, за исключением точек, в которых ветви пересекаются. В точках пересечения неясно, как приписывать индексы по обе стороны от пересечения. Следуя Филипсу [86], мы будем проводить нумерацию так, чтобы в отсутствие вырождения для /-й ветви с заданным k, частота которой обозначается как со2 (Л |7), было
со2(Л|П>а>2(Л|/), (107.2)
если }'>¦}; Вне точки вырождения такое правило позволяет пронумеровать все состояния единственным образом. При этом
[D(k)] в(
314
Глава 10
в точке пересечения ветвей может возникнуть обобщенная критическая точка, обусловленная бесконечно большим изменением производной от частоты по квазиволновому вектору. В такой сингулярной критической точке одна или несколько компонент-производной от со2 по ft изменяют знак скачком, причем остальные компоненты обращаются в нуль. Сама частота со2(ft| /) остается конечной.
Так как k меняется непрерывно во всей первой зоне Бриллюэна, при фиксированном j co2(ft|/) является тоже непрерывной функцией. Если N — полное число элементарных ячеек, соответствующее граничным условиям Борна — Кармана, то имеется N таких квадратов частот для каждой ветви. Относительная доля этих частот ветви /, которая лежит между co2(ft|/) и [со2 (ft j /') -{-+ Асо2 (ft | /)], равна
G, (со2) Асо2 = ^ [N, (со2 + Асо2) - Nt (ш2)], (107.3)
где Nj(со2) — полное число квадратов частот во всем интервале от 0 до заданного значения co2(ft|/) /-й ветви.
Определим функцию распределения квадратов частот G/(co2).A<»2 следующим образом:
Gj (со2) Асо2 = X Ь (“2 (* I /) ~ ®2), (Ю7.4)
к
со2 (ft I j) < со2 < со2 (ft I /) + Асо2 (ft I /). (107.5)
Если мы хотим рассматривать ft как непрерывную переменную, мы можем переписать (107.4) в форме интеграла по объему (множитель (2я)~3 здесь не выписан явно):
