Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Изменим теперь порядок рассуждений. Возьмем fto за начало координат. - Тогда_, чтобы элемент симметрии {фо} из группы ©(fto) был совместим с наличием линейного члена в разложении функции f(k), этот элемент должен оставлять инвариантным
324
Глава 10
(107.62). Но волновой вектор k преобразуется при поворотах как обычный полярный вектор (х, у, г). Следовательно, совместными с (107.62) оказываются только те повороты {ф0}, которые оставляют инвариантным k.
Отсюда мы получаем правило: только те точечные группы являются разрешенными в ®{k0)/Z, для которых содержащиеся в них вращения не оставляют k0 инвариантным:
{фо} • ко ~ <Ро ' ^ ^о* (107.63)
Это соотношение накладывает ограничение одновременно и на волновой вектор k0, и на возможные повороты {фо}, т. е. на возможные критические точки.
Например, пусть ф0 есть i (инверсия). Но наличие инверсии в группе $(?о) несовместимо с линейным членом в (107.62). Для точечных групп, не содержащих инверсии необходимо проверить преобразование компонент (х, у, z) под действием поворота из $(?о)- Если либо х, либо у, либо z остается инвариантным при всех операциях ф0 из Щ(?0) (с осями, выбранными любым удобным способом), то Щ(йо) совместно с наличием линейного члена в (107.62) и ko не может быть критической точкой. Естественно, это только вопрос проверки: легче всего выяснить с помощью существующих таблиц неприводимых представлений кристаллографических точечных групп в трех измерениях, преобразуется ли хоть одна из компонент вектора по единичному представлению рассматриваемой группы $(&о).
Тогда видно, что точечными группами Щ(&о), допускающими существование критических точек, являются
любые группы $(?о), содержащие i, (107.64) и, кроме того,
группы Тй, О, Т, D2d, D3h, Dn, S4, СЗЛ и их подгруппы D3, D2, S4, Сза. (107.65)
Все группы, перечисленные в (107.64) и (107.65), несовместны с линейным членом в (107.62) и, таким образом, могут быть группами точечной симметрии в критической точке.
Легко видеть, что можно ограничиться рассмотрением только унитарных операций: учет антиунитарных операций (т. е. учет полной пространственно-временной группы) не изменяет результатов (107.64) и (107.65).
При любых применениях этих рассуждений, чтобы установить, на какой ветви при заданном ko лежит критическая точка, необходимо возвратиться к рассмотрению предыдущего пункта. Пегко убедиться, что данное рассмотрение находится в полном соответствии с рассмотрением предыдущего пункта. Используя
Применение теоретико-группового анализа
325
только скалярный инвариант f(kо), определенный в (107.62), можно предварительно установить возможную критическую точку: для кристаллов с пространственной группой высокой симметрии этим можно заметно сократить работу, необходимую для установления полного набора критических точек, обусловленных симметрией.
§ 108. Теория совместности представлений
Одновременно с симметрией и расположением критических точек должен рассматриваться вопрос о совместности представлений. Мы имеем в виду анализ того, как следует классифицировать представления, когда мы непрерывным образом переходим от точки, линии или плоскости более высокой симметрии к точке, линии или плоскости более низкой симметрии.
Рассмотрим точку k более высокой симметрии: она характеризуется пространственно-временной группой S(k). Неприводимые представления D^ok)U) и D^c° **)</) описывают возможные
преобразования физических собственных векторов е
Пусть к'— точка, близкая к к. При переходе от k к k' про-странственно-временная группа $ (к) может понизиться по симметрии до 2?(k'). Очевидно, если это имеет место, то
д (к') является подгруппой &(k). (108.1)
Тогда для копредставлений мы получаем, что представление ?)<соЖ/) группы $?(к), ограниченное на группу S(k'), оказывается приводимым. Другими словами, представление ?)<с° *)</), рассматриваемое как копредставление группы S(k'), является приводимым:
D<co«<« из SЧ6Ц = ?(со*,)(/')+-... +D(co*,)M из 9(К). (108.2) Представления D^cokHh)t ^ д(со *)(/v)
называются совместными с представлением D<c0«v) или связанными с ним. Таким образом, если мы движемся от точки k к k' и симметрия при этом понижается, то копредставления могут расщепляться на сумму представлений меньшей размерности.
Наоборот, при переходе от более низкой симметрии $ (k') к более высокой симметрии § (к) представления в правой части
(108.2) объединяются и дают Ь(соА)и>. Этот случай относится к теореме взаимности Фробениуса, так как представление /)(со*а)</) Можно рассматривать как индуцированное из любого из представлений справа в (108.2), если нам дано разложение по
()
326
Глава 10
представителям смежных классов:
$(к) = $(к') + {ч>\т}&(к') +
(108.3)
Подведем итог. Совместность представлений является полностью разрешимой проблемой, требующей знания групп ${к), 9(k') во всех точках (в частности, в соседних точках) зоны Бриллюэна. При каждом значении к все физические собственные
?)(со *>(/) известен тоже. Тогда, используя процедуру ограничения
(108.2), мы можем установить совместность представлений группы более низкой симметрии с представлениями группы более высокой симметрии. Эта процедура используется в т. 2, § 18.
