Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
На практике при идентификации ветвей на основе теоретикогрупповых соображений могут возникнуть трудности, так как некоторые ограниченные представления могут встретиться в
(108.2) несколько раз. Однако, используя наряду с теоретикогрупповым анализом симметрии собственных векторов также результаты решения динамической задачи, позволяющие получить относительное упорядочение собственных векторов, можно полностью решить проблему идентификации ветвей.
§ 109. Построение кристаллических инвариантов
В квантовой теории кристаллической решетки, в частности при рассмотрении оптических свойств, существенную роль играют различные физические величины, которые зависят от смещений ионов из их положений равновесия. Мы рассмотрим здесь три характерные величины: V — потенциальную энергию кристалла; М — электрический момент кристалла; Р — поляризуемость кристалла. Это типичные инвариантные и ковариант-ные величины, свойства преобразования которых мы изучим. В динамической теории эти величины или связанные с ними квантовомеханические величины используются непосредственно при получении количественных выражений для коэффициента инфракрасного поглощения или сечения комбинационного рассеяния света. Обсуждение использования этих величин в такой теории приведено ниже в § 120, а тарке в работах [8, 67]. Здесь мы изучим возможность получения максимальной информации об этих инвариантных и ковариантных кристаллических величинах с помощью группы пространственной симметрии ®. В этом параграфе кристаллические инварианты обсуждаютря только на основании теории представлений, т. е. рассматривается действие только унитарной группы @(ft).
В качестве типичного инварианта рассмотрим потенциальную
известны и полный набор всех копредставлений
энергию кристаллической решетки Ф. Для удобства повтбрим
Применение теоретико-группового анализа
327
некоторые из результатов, изложенных в § 71. Величина Ф, очевидно, является функцией совокупности мгновенных положений ионов в решетке
рС)-"' (*)+“(*)¦
Рассмотрим элемент Р{Ф} группы ©. По определению элементами группы ® являются те преобразования конфигурационного пространства, которые переводят кристалл в его реплику в предположении, что все ионы в кристалле покоятся. Говоря математическим языком, преобразование определяет внутренний автоморфизм множества атомов, составляющих кристалл. Запишем теперь кристаллическую потенциальную энергию Ф для случая, когда все атомы находятся в своих мгновенных положениях
р('):
*({¦>(')})• 009-1)
Под действием преобразования симметрии /%]<) группы © каждый вектор преобразуется следующим образом:
Р{ф|<)Ро(кф + * ) = ^ф“ррр(х)' (109.2)
Так, атом, первоначально находившийся в положении I I, пере
( h-\-1\
ходит в положение! . I,повернутое и транслированное под \щ г/
действием оператора симметрии. Кроме того, смещение в этой преобразованной точке является повернутым смещением ф-и. Таким образом, совокупность мгновенных положений атомов
(I).
преобразуется в совокупность мгновенных положений РМр — рм- Как обычно>
'чС)“2ф“л(ч)' <109-3>
так что мгновенное положение атома в узле О после преобразования содержит повернутое смещение, которое раньше было
828
Глава. 10
в узле
. С другой стороны, это преобразование
можно рас-
сматривать как преобразование к повернутой системе координат, связанной с исходной системой координат операцией (фЮ-1-В этой повернутой системе координат рассматривается весь кристалл, в котором все атомы занимают свои мгновенные положения. Очевидно, потенциальная энергия не зависит от способа описания. Определим преобразованную потенциальную энергию, т. е. потенциальную энергию после преобразования мгновенных положений, как Ф'= РздФ. Тогда по определению имеем
Но если Р{Ф) — оператор симметрии, то по предположению наборы мгновенных значений {р} и {р{(р)} эквивалентны, так что значения потенциальной энергии до и после преобразования одинаковы:
Сравнивая (109.5а) и (109.4), получаем, что потенциальная энергия инвариантна:
Очевидно, (109.5а) и (109.56) применимы для любой операции из группы @. Таким образом, рассматриваемая как обобщенная функция пространственных переменных, на которые действует в конфигурационном пространстве оператор ?%;, потенциальная энергия Ф преобразуется по единичному представлению, т. е. по представлению, для которого все элементы группы ® представлены числом +1. Для удобства обозначим единичное представление как (Г)(1+). При рассмотрении кубических групп ниже мы увидим, что для единичного представления употребляется символ (Г)( + 1). Как правило, k = Г = (0, 0, 0) обозначает нулевой вектор в зоне Бриллюэна, а т = 1 + удобный символ для единичного представления группы ®(Г). Таким образом, (109.5а) и (109.56) можно переписать в виде
Выделим теперь в аргументе Ф положение равновесия ато-
(109.4)
Ф«Р» = Ф({РМ}).
(109.5а)
Р{ф)Ф = Ф.
(109.56)
Р{Ф)Ф==0(г)(1+)({ф})ф
(109.6а)
(109.66)
или
ф ?)(Г) (!+)_
попытаемся представить ф в виде степенного 1М и . Мы уже делали такое разложение в
ряда по смещениям и
Применение теоретико-группового анализа
