Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Gy (о2) Асо2 = J J J dk, (107.6)
где интегрирование идет по объему
со2 (ft | /) < о2 < со2 (ft | i) + Ао)2 (ft! /). (107.7)
Следует отчетливо представлять себе, что ограничение
(107.7), имеющееся в (107.6), является реальным ограничением области интегрирования по k: это по существу главное уравнение для ft (со2), написанное, конечно, только для одной /-й ветви. Очевидно, что (107.7) описывает объем, заключенный йежду поверхностью со2 = со2 (ft |/) и поверхностью со2 = со2 (ft) /)+’ + Aco2(ft|/). Теперь мы можем преобразовать (107.6) в поверхностный интеграл по одной из этих поверхностей.
Пусть dS — элемент поверхности со2 (ft | /) = со2, где со2 — некоторое постоянное число. Тогда единичный вектор в направлении возрастания со2 можно записать в виде /
п = V*co2 (ft ] /)/] V*co2(ft | /) |. (107.8)
Применение теоретико-группового анализа
315
Теперь можно записать (107.6) через объем в ^-пространстве, заключенный между двумя указанными выше поверхностями:
/v* ^ ф2
G/(co2)A(o2 = §T^|-AfedS, (107.9)
где Aft — приращение ft, соответствующее приращению Дсо2 (Jfe | /'), а — поверхность со2 === со2 (fe j /). Если разложить (o2(ft-|-Aft) в ряд Тейлора, то получим
со2 (* + Д* 1 У) = со2(fe !/) + Vco2 (ft I/) . Д* + ..., (107.10)
или
Дю2 (ft 1 j) V©2 (ft | j) • Aft. (107.11)
Следовательно,
dS. ' (107.12)
a \ b \
Так как Ли2 (ft j /) —- постоянное приращение, то
Gj Н Лю2 = До,2 (ft | j)\\ . (107.13)
о *
Это важный результат: функция распределения частот или плотность состояний Gj((о2)Дм2 пропорциональна поверхностному интегралу
Ит^Т' (107л4)
в котором интегрирование ведется по поверхности о, соответствующей постоянному значению и2. Представляется очевидным, что области в зоне Бриллюэна, в которых
| Vfta2 (ft 1 j) 1 = 0, (107.15)
весьма существенны, так как они дают большой вклад в подынтегральное выражение в (107.14) и, следовательно, в производ-
ную dGj(a2) /da2. В зависимости от того, все ли компоненты V*co2(ft|/) обращаются в нуль или только некоторые из них, возникают разные случаи [8,85].
Так как в этой монографии мы в основном интересуемся теоретико-групповым анализом оптических процессов, связанных с колебаниями решетки, мы не будем подробно обсуждать аналитический вклад в плотность состояний от критических точек разного типа. Такой анализ содержится, например, в работе Кохрана и Каули [8]. Здесь мы обсудим более узкий вопрос о том, как установить те критические точки, которые связаны с требованиями симметрии.
316
Глава 10
Мы применим к уравнению (107.1) теорию возмущений и установим связь симметрий собственных векторов нормальных колебаний с возникновением критических точек. Пусть имеется решение уравнения (107.1), соответствующее волновому вектору ft0. Так как обусловленное симметрией существенное вырождение играет важную роль в теории, мы выпишем уравнения динамики решетки, собственные векторы, собственные значения со всеми индексами. Напомним рассмотрение § 75, 85, 91.
Пусть в точке k0 уравнения движения имеют вид
' 2/)«Э.(^)вэ(»‘,|^) = а>2(*Ь1/)еа(«|^). .....h>
(107.16)
где вырожденные собственные векторы с ц = 1, ..., // относятся к //-кратно вырожденному собственному значению co2(ft|/). Для других собственных векторов мы будем обозначать индекс ветви латинской буквой, например т:
2 D“P ( их') 6(5 | /1 ) = 0)2 ^1 от* е“ (** | ) ’ т ^ ^ (107Л?)
х'З
где т ф ц относится к невырожденным ветвям. Пусть вектор ft имеет значение, близкое к fto, так что
k-ko^l, (107.18)
где 1 — малый вектор. Уравнение движения в точке k имеет вид
(10719)
где греческий индекс ц относится к одной из ветвей, вырожденных в точке ko, согласно уравнениям (107.16). Для этой ветви следует применять теорию возмущений для вырожденного уровня! Разложим в ряд Тейлора динамическую матрицу и собственные значения и оставим в разложении только линейные члены. Тогда получим
- J107-20)
и
й^(Л|ц) = ш2(Ао|/) + (|.У4)©2(йо|ц)+ (Ю7.21)
или
<в2 (А | ц) — ш2 (fto | /г + co2(fto I и)(|)'+ .... (107.22)
Применение теоретико-группового анализа
317
Будем искать возмущенный собственный вектор в виде-линейной комбинации невозмущенных собственных векторов:
В (107.23) мы ограничились линейной комбинацией только вырожденных собственных векторов, так как мы предполагаем, что именно они дают наибольший вклад. Задача состоит в определении 5vu и одновременно поправки первого порядка к ю2(й0|/). Подставляя (107.23), (107.21), (107.20) в (107.19), получаем
Учитывая (107.16), мы исключаем члены нулевого порядка и получаем типичное уравнение теории возмущений первого порядка для вырожденного уровня (напомним, что мы берем только множество вырожденных собственных векторов):
в виду, что а относится только к вырожденным ветвям. Тогда имеем
Умножим теперь скалярно
имея
I ^0 \ ( 1^0
318
Глава 10
Следовательно, уравнения для определения коэффициентов 5vll (правильных линейных комбинаций) имеют вид
-d-V*)(D2(*bt/Ii)ewJ=0, <7=1,..., lt. (107.27)
Эта система имеет отличные от нуля решения, если ее определитель равен нулю. Достаточным условием обращения в нуль всех корней уравнения (107.27), т. е. величины (§, • V*)со2(fe0| ц), является условие равенства нулю всех матричных элементов:
