Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
329
(67.8) вплоть до квадратичных членов по Рассмотрим
теперь более полное разложение
ЧЮ1) = ф(0) ф(2) _f_ ф(3) _f_ ф(4) _J_ t _ _ _J_ ф(,)
(109.7)
где для равновесного кристалла, в котором атомы находятся в
положениях равновесия, так что р сыэ , ф(>) = 0. Снова образуем разность
- ф(°), (109.8)
которая будет суммой однородных функций разных степеней относительно компонент смещений Например, величина
®"-4ZZ zMlSSMMMS)
/на I W$ 1"к у
(109.9)
является однородной функцией третьей степени относительно компонент. Мы только что установили, что Ф является инвариантом в смысле (109.6). Так как ни одно из преобразований не может смешивать различные степени в (109.7), каждое слагаемое в разложении должно быть инвариантом. Применим теперь преобразование Р{Ф} группы ©. Если выразим член третьей степени в потенциальной энергии Ф(3> через компоненты преобразованных смещений М{Ф}, мы можем написать для Ф(3)
, „ „ „ /7„ с I':
ф(3> = 1 о
z z z
W 4 ф ф ф '
х (и{,})а(0(^р(<)(%,),(<)' ао9ло)
Мы ввели здесь новое обозначение Ф', чтобы учесть возможную новую функциональную форму коэффициента разложения Ф(3), возникающую при преобразовании к повернутым переменным %}. Повторяя рассуждения (71.1) — (71.10), получаем
(>1ф < <) = J(и.х' )’ (1°9,11}
330
Г лава 10
(I V I" \
так что компоненты Фам( г п I преобразуются при пово-
\ УС УС УС J
ротах как компоненты поля тензора третьего ранга. По предположению Р{ ф) — преобразование симметрии, поэтому форма функции не должна меняться при этом преобразовании:
, (I I' I" \ (IV I" \
фф1и к' х";ФарЛх и' к") или, меняя обозначения аргументов,
(I I' I" \ (I I' Г \
(lo9¦l2,
Соотношение (109.12) кратко выражает свойство инвариантности этого тензорного поля [ср. (109.6)]. Из (109Л1), (109.12) получим соотношение, дающее правило преобразования силовых постоянных в члене третьего порядка при преобразованиях поворота:
ф-(1: i wAv(i: < «)• (1о9лз>
Запишем матрицу, осуществляющую поворот вектора г согласно группе
Д(г,({<р})йо^Фйа. (Ю9.14)
Очевидно, (109.13) тогда можно записать в виде
/С С Л v (I I' I" \
V% Ч К) 5°({ч,})й^: aPv°opvU и' ч" J’ (109‘15)
где
aev-Ve^vv (Ю9.16)
есть матричный элемент прямого произведения матриц общего типа, являющегося кубом представления, по которому преобразуется полярный вектор:
D({<f})^DW®DW®D«==[D«]3. (109.17)
Следовательно, отсюда имеем »
Применение теоретико-группового анализа
331
Если элемент симметрии не меняет J и
(109.18) ограничивает число независимых отличных от нуля силовых постоянных третьего порядка. Из (109.18) мы сразу видим, что силовые постоянные третьего порядка, определенные в (109.9), преобразуются при поворотах как элементы тензора третьего ранга в декартовых координатах, который вследствие симметрии является инвариантом.
а. Гамильтониан кристалла в гармоническом и ангармоническом приближении. Чтобы выполнить квантование в динамике колебаний решетки, необходимо записать гамильтониан системы. Возвращаясь к § 67, мы можем выполнить это.
Динамическими переменными в задаче динамики решетки
являются 3rN декартовых компонент смещений а~
= 1, 2, 3; 1=\, N-, х = 1, ..., г. Кинетическая энергия
решетки равна
С точностью до константы в гармоническом приближении потенциальная энергия решетки равна
Пользуясь известным правилом преобразования от смещений в декартовых координатах к комплексным нормальным коор-
динатам Q , уравнением динамики и соотношениями орто-
гональности для собственных векторов е , получим сле-
так что
то
(109.19)
v=iz ,lo9'2o,
/ха I н'З
дующее выражение для кинетической энергии:
(109.21)
Для потенциальной энергии аналогично (80.3) имеем
(109'22)
* /
332
Глава 10
Из (109.20) и (109.21) видно, что, так как Q^. ^ —
комп-
лексные координаты, энергия не является просто суммой квадратов.
Гамильтониан кристаллической решетки равен
Ж = Т+У (109.23)
и, очевидно, является билинейной эрмитовой формой комплексных динамических переменных Записывая (109.23) с
помощью (109.21) и (109.22) и добавляя, как всегда, для учета вырождения индекс ветви, получим
' (109.24)
Здесь сумма по /д фактически сводится к сумме по представлениям, которые соответствуют симметрии колебаний решетки.
Полезно удостовериться в том, что (109.24) инвариантно при преобразованиях симметрии пространственно-временнбй группы кристалла 9. Очевидно, Ж инвариантно по отношению к операции обращения времени, эквивалентной комплексному сопряжению:
Ж*=Ж = КЗЮК~\ (109.25)
где в последнем равенстве видно, что Ж— оператор. Мы можем затем исследовать, как преобразуется Ж под действием пространственных унитарных преобразований группы ©.
Согласно § 86, нормальные координаты ,°^ преобразуются неприводимым образом при действии операций из группы ©. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением одного неприводимого представления. Таким образом, возьмем
0 (109.26)
Так как мы рассматриваем единственное неприводимое представление, суммирование по всем волновым векторам отсутствует. Преобразуем нормальную координату с помощью оператора симметрии; тогда, производя незначительные изменения согласно (86.30), имеем
