Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
МЮ'ЧЦ))’ <mi6)
где О — оператор типа [Л (*)]¦. инвариантный относительно операции симметрии группы ©(&):
р{\ы°р{\ы-°- . (106Л7>
Соотношение (106.17) определяет оператор, инвариантный относительно преобразований группы ©(&).
Обобщая (106.16), мы можем рассмотреть ковариантный набор операторов
о( ). Ц=1 (106.18)
который принадлежит к ц-й стороне неприводимого представления (m> группы © (k):
И _ <
(106.19)
Набор операторов (106.18) определен по отношению к преобразованиям группы ®(k). При любом выборе базиса набор операторов (106.18) должен рассматриваться в принципе как часть полной совокупности операторов группы
о(*”)......о(й'-),...,о(*''); ц=1.............im,
\т11У ' 1Щ.'
где волновые векторы принимают все возможные значения неэквивалентных волновых векторов в *k". В изложенном ниже анализе мы будем работать в рамках метода подгруппы и ограничимся совокупностью (106.18). Здесь читателю можно посо-
Применение теоретико-группового анализа 303
ветовать просмотреть определение коэффициентов приведения в § 17 и'57—59. Учитывая ограничение (106.18), можно проанализировать скалярное произведение
(е(;>°( *'>(/;¦)) (106-20)
аналогично (106.2) и (106.12). Прежде всего ясно, что матричный элемент будет отличен от нуля тогда и только тогда, когда коэффициенты приведения соответствующей малой группы будут так же отличны от нуля:
(к}\к',т^}')ф0. (106.21)
В (106.21) следует различать два случая, отличающиеся тем, что, коэффициент приведения либо равен единице, либо оказывается числом, большим единицы.
Когда коэффициент приведения равен 1 и волновые векторы таковы, что ®(k") — ®(k') = ©(ft), применима простая процедура. В этом случае все поворотные элементы одинаковы
для трех волновых векторов и произведение представлений
D<*"> <m> ® D<*'> <''> (106.22)
содержит представление D(ft) (/) только один раз. Тогда из независимых базисных векторов можно построить единственное /,-мерное векторное пространство 2(ft>
Sl*)</)s{0<*></>f _ 0(*)О)|( (106 23)
где 0'*>(/) — симметризованная величина, стоящая в v-й строке представления D(k)
0W Uk”™ ( * ) 4 I * ) . (106.24)
p, . v' t1 I Jv'
Тогда // произведений 0(*)<л (v—1,..., //) могут рассматриваться в качестве базиса. Матричные элементы Uk"mti, k'/'Vr, */v являются элементами матрицы Клебша — Гордана, представляющими произведение (106.22) в виде прямой суммы, в которой нас интересует только представление В рассматри-
ваемом случае мы предполагаем, что только один элемент преобразованной матрицы отличен от нуля. Повторяя рассуждения, которые привели нас к (106.9), получаем выражение
(«(|*), б1‘)Ш) = Г(*, /) (Ю6.25)
304.
Глава 10
для этого единственного отличного от нуля матричного элемента. Чтобы вычислить скалярное произведение (106.25), нам нужны выражения для (0vA>*w>)ax- Их можно получить, используя следующее соотношение для компонент
(10б'2в)
подставляя затем (106.26) в (106.25) и учитывая соотношение ортогональности и нормировки (79.10). Следовательно, оператор 01. ) должен быть таким, чтобы его можно было разло-
V ]\ '
жить в Зг-мерном пространстве компонент вектора смещения (\k'\
el ., I . В большинстве практически встречающихся случаев
I ^ V*
такое разложение на компоненты с индексами а%, а = 1, ..., 3, х=1,'..., г, оказывается возмоленым. В противном случае пришлось бы воспользоваться разложением на компоненты с индексами ткоторых тоже 3г, и записать скалярное произведение с двумя точками типа (79.9) или (79.11).
В случае когда коэффициент приведения (106.21) равен 2 или большему числу, отличными от нуля оказываются несколько матричных элементов. Мы будем понимать это следующим образом. Рассмотрим набор (1Ц • /V') произведений
°(т)е( (г,)*' (Х==1, /ц’ v'=1- •••> 'v'. (106.27)
Предполагается, что этот набор (/ц, • /V') произведений содержит функции, которые могут служить базисом для нескольких линейно-независимых пространств число которых равно чис-
ленному значению коэффициента приведения (106.21). Например, предположим, что коэффициент приведения (106.21) равен 2. Тогда имеются две различные линейные комбинации функций (106.27), являющиеся базисом для каждой строки v в представлении D(k)U).
Чтобы установить это наиболее простым способом, следует построить оператор проектирования
Р&)(/), (106.28)
который выделяет любую функцию, преобразующуюся по v-й строке представления ?)<*></). Процедура построения оператора типа (106.28) уже обсуждалась в § 16, и результат приведён в формуле (16.3). Подчеркнем, что мы на самом деле распд-
Применение теоретико-группового анализа
305
лагаем всеми элементами, необходимыми для построения (106.21) обоими методами, обсуждавшимися в § 16: либо чисто алгебраическим методом, зависящим только от структуры группы, либо с использованием матриц полного представления Z)(A) (/) группы ®(k). Действуя оператором (106.28) на базис (106.27), получаем
(106.29)
Придавая индексам ц и v' допустимые значения, мы получим две различных линейно независимых функции:
е<?)(/), ef>(/). (Ю6.30)
Если образовать скалярные произведения этих функций с ^ , то каждая из них даст линейно независимые матричные элементы коэффициентов приведения,, а именно
