Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?)<*.) <°)* ® /)(*.) nijg) /)(*.) <v)t (107.49)
являющееся произведением симметризованного квадрата ?)(*»)</) на компоненту Заметим, что в группах SP(fto)
с точечной симметрией ниже кубической Он различные компоненты полярного вектора г могут преобразовываться по разным неприводимым представлениям.
Проверка (107.47) и (107.49) для каждой конкретной интересующей нас ветви по всей зоне Бриллюэна позволяет установить значения k, в которых может быть критическая точка. Для каждой такой точки можно установить, является ли она точкой минимума, максимума или седловой точкой. Это можно установить, определяя обращающиеся в этой точке в нуль компоненты градиента. Тип и индекс критической точки определяются характером сингулярности плотности состояний для фононного распределения вблизи критической точки. Эта классификация обсуждается в работах [8, 63, 85].
В заключение напомним, что наше рассмотрение позволяет установить только критические точки, обусловленные симметрией. Остальные, случайные, критические точки возникают из конкретного хода фононных дисперсионных кривых, обусловленного видом силовых постоянных для данного кристалла. Такие динамические критические точки из соображений симметрии найти нельзя. Однако одновременно с критическими точками, обусловленными симметрией, они тоже должны удовлетворять всем соотношениям Морса.
322
Глава 10
б. Определение возможных критических точек по точечной симметрии. В предыдущем пункте мы убедились в том, что достаточным условием существования нулевого наклона или критической точки при ko для поверхности с симметрией ?)<*°н/) является обращение в нуль коэффициентов приведения подгруппы (107.46). Порядок вычислений для конкретного кристалла при этом ясен. Нужно исследовать коэффициенты приведения для всех точек зоны Бриллюэна и для всех возможных допустимых неприводимых представлений, соответствующих конкретной симметрии фононов данного кристалла, т. е. следует проверить весь набор коэффициентов приведения.
В принципе это довольно трудоемкая задача. Чтобы сократить работу, нужно выяснить, нельзя ли рассматривать в зоне Бриллюэна только некоторые определенные точки ko. Чтобы разобраться в этом вопросе, мы сформулируем задачу иначе
[88]. Напомним, что из (107.1) следует, что физические собственные частоты со2 (feo [/) при k0 являются собственными значениями динамической матрицы
[D(k0)]. (107.50)
Далее, из (79.16), (79.17) мы знаем, что унитарная матрица E(kо), строки и столбцы которой являются собственными векторами [Z)(ft0)], приводит [Z)(fe0)] к диагональному виду. Поэтому воспользуемся соотношением (79.16):
Е (ЛоГ1 [D (*<,)] Е (kQ) = Д (ko). (107.51)
Возьмем след от обеих частей матричного уравнения (107.51).
Так как след матрицы инвариантен при унитарных преобразо-
ваниях, получим
Sp [?» (*0)] = Sp Л (*0) =
= ю2(*о1/)+ ••• + ®2(ko\jm)=‘
~ ? Cy/y(o2 (k01 /) = / (ко), (107.52)
1
где Ci — число собственных значений со2 (fe01 /) и I,- — кратность вырождения (если случайного вырождения ает, то с/ = 1). Здесь важно, что стоящая в (107.52) сумма является скалярной функцией волнового вектора k0. Ниже мы будем считать С/ = 1. Вернемся к соотношению (107.51) и перепишем его в виде
[D (*о)] ?(*„) = ? (*<>)• А (*о). (107.53)
Рассмотрим теперь оператор преобразования из группы ® (ko). Применим его к (107.53):
- -Рад [D (ко)] Ры • РыЕ (ко) = РълВ (ко) Д (ко). (107.54)
Применение теоретико-группового анализа
323
Из (83.5) мы видим, что каждый србственный вектор (столбец), в E(kо) может служить базисом допустимого неприводимого представления группы ®(k0). Следовательно, действие оператора Р{%) на E(k0) дает (3r X Зг)-мерную матрицу D({<p0}), которая получается уже в полностью приведенной форме
РыЕ (К) = D ({<ро» Е (к0), (107.55)
где
/D<4»H0 ... о ... 0 \
/)({фо})= о D^(n 0 . <107.56)
V 0 0 ?><*»> У))
Но из (81.26) имеем (если пока не учитывать, что (fo'^s kQ):
Ры [Л (*>)] РГ%) = [D (Ы ¦ *о)]. (107.57)
Из (107.55) — (107.57) мы можем получить
A (ft0) = /Г1 (Ы) [D ({ф0} • fto)] • D ({ф0}). (107.58)
Используя унитарность ?>({ф0}) (это прямая сумма унитарных матриц) и беря след от обеих сторон равенства (107.58), получим
Sp А (*ь) = Sp D ({ф0} ft0) = Sp А ({ф0} • fto) (107.59)
или, вводя обозначения из (107.52), получаем для всех {ф0}
f (fto) “ f ((фо> • fto)- (107.60)
Так как {фо} относится к группе ©(fto), то (107.60) по очевидным причинам тоже относится к ®(k0). Чтобы установить, является ли fto вероятной критической точкой, можно воспользоваться выражением (107.60), представляющим собой скалярную функцию fto.
Если бы fto не оказалось критической точкой, то какой-либо из квадратов частот (независимо от того, какой конкретно) имел бы в разложении вблизи ft0 линейные члены
CD2 (ft I D = со2 (fto 1 j) + (V*CD2 (ft I /))| 4i (ft - fto). (107>61)
Соответственно в окрестности такой точки скалярную функцию f(k) можно было бы представить в виде
f (ft) == f (fto) + (Vf) (ft — fto). (107.62)
Однако в точке fto (107.60) должно выполняться для всех {ф0} из группы ® (fto).
