Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Метод прямой проверки также является возможным способом определения U. Так как U — матрица с размерами (Зг X Зг) и так как известны с/ и явная форма компонент DWin, то определение компонент U можно выполнить прямой проверкой.
При выполнении приведения, вероятно, полезно обратить внимание на явный вид ?)(*>(Д), А именно: выбором порядка, в котором перечислены номера атомов в элементарной ячейке, можно взять D(k) (А> в частично диагонализованном виде, т. е. в форме расположенных вне диагонали блоков, что позволяет найти U.
Подведем итог. Работу по вычислению правильных линейных комбинаций для D(k) можно облегчить, либо используя операторы проектирования, либо прямым определением U. Мы проиллюстрируем это ниже, когда в т. 2, гл. 3 (в частности, в § 20) будем анализировать пространственную группу алмаза и каменной соли.
Чтобы завершить задачу определения правильных линейных комбинаций, необходимо рассмотреть операцию обращения времени. Здесь мы снова используем тот факт, что тип копредставления, которое содержит все возникающие D(k) (1) (т. е. для которого в рассматриваемом кристалле с/ Ф 0), нам известен. Для копредставления типа А, когда ограниченными представлениями являются базисом, неприводимого представления служит
(/>_ для копредставлений типа В и С результаты § 98 показывают, что базисом неприводимого представления служит пространство
2(со*)(Л^2(*)(Л 0paos<*><'>. (104.26)
Легко увеличить число собственных векторов, составляющих -2(А)(Л, добавлениеи найденного с помощью Ра, преобразованного набора. Пример будет приведен ниже.
В заключение подчеркнем, что осйовной задачей является определение совокупности координат симметрии для &{k). Если -
Симметрия и классическая динамика решетки
297
все С/ *= 1, то это можно сделать до конца. Если с/ > 1, то собственные векторы можно определить с точностью до линейной комбинации. В каждом из этих случаев для определения численных значений частот или остальных параметров необходимо решить динамическое уравнение. Если все С\ = 1, то зная все собственные векторы, можно построить матрицу E(k) из (79.14) и затем найти все собственные значения так, как это сделано в (79.16) и (79.17). Это очень удобно при исследовании влияния изменения силовых постоянных на собственные значения, так как при этом из (79.16), (79.17), (85.12) и (85.13) можно получить явное уравнение для со2 (&)/).
В некоторых исследованиях (например, в теории электрон-решеточного взаимодействия) нужны только «голые» собственные векторы динамической задачи для данного кристалла. Мы видим, что использование операторов проектирования позволяет сделать это при с,- = 1. В остальных случаях приходится решать полную динамическую задачу.
При неясности в идентификации ветвей по симметрии, когда неизвестна точная модель силовых постоянных, задача все же может быть решена с помощью анализа многофононных-оптических спектров инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света. Иначе говоря, применение теоретико-групповых методов позволяет получить несколько возможных решений задачи, а затем наблюдение разрешенных оптических процессов в фононном спектре комбинационного рассеяния дает возможность найти энергию отдельных фононов соответствующей симметрии и, следовательно, отнести фононы к определенным- оптическим ветвям.
Таким образом, используя единичные декартовы смещения для получения вспомогательного векторного пространства 2<Й)(Д), в котором легко выполняется приведение, можно полностью определить симметрию колебаний. Ясно, что такую процедуру можно рекомендовать вне зависимости от того, найдены
ли численные значения собственных векторов j . ^ из решения динамической задачи. С другой стороны, теоретико-групповой анализ не может установить относительное расположение ветвей по величине энергии; это можно сделать только числен^ ным- методом. Если для некоторых значений А: окажется, что С/ >1 (т. е. равно 2 или больше), то заведомо будет некоторая неоднозначность в "идентификации ветвей по симметрии. В этом случае также теоретико-групповой анализ следует дополнить решением динамической задачи.
ГЛАВА 10
Применение теоретико-группового анализа к собственным векторам в классической динамике решетки
§ 105. Введение
Результаты предыдущей главы имеют много физических применений. Очевидно, что классификация собственных векторов по симметрии является полезной сама по себе. Затем свойства симметрии собственных векторов можно использовать в разного рода «тензорных» вычислениях аналогично более известному квантовомеханическому случаю, который будет обсуждаться ниже в гл. 11, где нужно вычислить матричные элементы, являющиеся интегралами от произведений функций. В классической динамике решетки реализуется похожая ситуация. В ней при определении свертки оператора с собственными векторами возникают величины, напоминающие матричные элементы. Такая свертка похожа на скалярное произведение, и получаются соотношения, напоминающие формулу Вигнера — Экарта. Такое рассмотрение допускает максимальное использование симметрии, в частности если имеются в распоряжении соответствующие коэффициенты Клебша — Гордана. Как следует из § 18, 60 и т. 2, § 16, коэффициенты Клебша — Гордана для пространственных групп стали публиковаться только в последнее время, но можно надеяться, что они будут вычислены в большом количестве в ближайшем будущем,- Использование тензорного анализа упрощает расчеты такого рода и показывает, что рассматриваемые метричные элементы можно представить в виде произведений «приведенных» матричных элементов на множители, полностью определяемые симметрией.
