Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Симметрия и квантовая динамика решетки
353
бинацисхнного рассеяния света кристаллами может быть тоже построена без адиабатического приближения. Для этого применяют современные методы теории многих гел, основанных на вычислении диэлектрической проницаемости. Некоторые из этих работ кратко обсуждаются в т. 2, § 6; более подробно данный вопрос рассматривается в работе [9].
В § 112, 113 изложена традиционная теория Борна — Оппен-геймера. Несмотря на то что она обычно излагается в учебниках [4], она необходима нам здесь, чтобы ввести единые обозначения, а также для ссылок в дальнейшем на эти параграфы. В § 114 мы обсуждаем переход от классических к квантовым нормальным координатам. В § 115—118 рассматривается симметрия собственных состояний решетки в гармоническом приближении. В этих параграфах при выполнении процедуры приведения сим-метризованных степеней неприводимых представлений пространственных групп получены характеристики обертонов и комбинированных частот по симметрии.
Нарушение адиабатичности в случае изоляторов можно связать с взаимодействием ян-теллеровского типа решетки с электронами, которое может проявляться либо при некоторых фазовых переходах [90], либо в таких изоляторах, где ширина запрещенной зоны того же порядка величины, что и энергия фонона.
Но этот интересный и важный вопрос выходит за рамки данной
книги и больше обсуждаться не будет.
§ 112. Гамильтониан системы многих частиц, состоящей из ионов и электронов
Обозначим кинетическую энергию системы электронов и ионов через Т, где
Т = ТЯ + ТВ. (112.1)
Здесь
Г» = т1>*-?ж,В 012.2)
—кинетическая энергия ядер, а
—кинетическая энергия электронов.
В этом параграфе мы сначала не будем выписывать индексы, так как мы не будем рассматривать конкретные одночастичные свойства систем. Пусть X и х обозначают соответственно координаты ядер и электронов. Суммы (112.2) и (112.3) следует вычислять по всем степеням свободы электронов и ядер. Так как эти частицы заряжены, потенциальная энергия системы U(X,x) имеет вид полной кулоновокой энергии взаимодействия между
'354
Глава II
электронами и ядрами:
"«¦«(-Ет^т+Етт^т-Ег^гг- <»«>
где Ze — заряд ядра, а —е — заряд электрона.
Квантовомеханический гамильтониан в шредингеровском представлении получается заменой в (112.2) и (112.3) динамических переменных на соответствующие операторы:
р-тШ' 0—гШ- <11ад
Будем считать, что в Tn и Те такая замена уже выполнена. Тогда мы должны решить квантовомеханическое многочастичное уравнение Шредингера
Ж (РХ) р, х) ? (X, х) = ЕЧ? (X, х), (112.6)
где Ж — квантовомеханический оператор
Ж = Тн + Тв + и, (112.7)
а 'Р — многочастичная собственная функция. Следует отметить, что пока не сделано никаких предположений о существовании равновесной решетки или кристалла. Можно, конечно, постулировать существование пространственной решетки ©, такой, что если все совокупности координат одновременно подвергнуть линейному преобразованию из ©, то Ж при этом останется инвариантным. Существование такой группы © до сих пор еще не установлено из чисто квантовомеханического рассмотрения.
§ 113. Адиабатическое приближение Борна — Оппенгеймера [4]
¦ Полный гамильтониан системы запишем в виде
Ж = Ж0 + Т„, (113.1)
где, аналогично (112.2), TN — кинетическая энергия ядер. Тогда Жо есть гамильтониан всех электронов, движущихся в поле ядер, мгновенные положения которых обозначены через {X,}. Тогда
жй;=тЕ + и. (113.2)
а. Теория возмущений Борна — Оппенгеймера. Пусть нам4 известен полный набор решений для электронной задачи
^o<Pv (X, х) = (ТЕ + U) cpv (X, х) = Wv (X) <pv (X, -х). (113.3)
В (113.3) <Pv(-X\ *)—собственная функция электронов. Она является функцией электронных координат {*} и зависит от положения ядер {X} как от параметров. Собственная энергия электронов IFvW также зависит от как от параметров/^ванто-
Симметрия и квантовая динамика решетки
355
вые числа {v} нумеруют, электронные состояния. Будем считать полный набор удовлетворяющим условиям ортонормирован-ности для любого заданного набора {X,}:
(<Pv> <PV')* — 5 d3x^ (Х’ ‘Pv' x) = 6w'- (113.4)
Определим величину
(П3.5)
являющуюся параметром теории. Здесь m и М — массы электрона и иона. Предположим, что для каждого иона существуют положения равновесия Х°, и рассмотрим малые отклонения от этих положений равновесия. Тогда мы можем записать
Xi = X°i + KUh^ (113.6)
где х определено в (113.5), а и— динамическая переменная, соответствующая в классической теории отклонению атомов от положений равновесия.
Теперь мы можем записать (113.2) в виде
Жй (Х° + ш) фv (Х° + хы, х) = Wv (Х° + ш) Фv (Х° + хы, х). (113.7)
Разлагая все члены в (113.7) в ряд по хы, получаем
Ж0 (Х° + хи, х) = Е кьЖ\ (x), (113.8)
К
Фv (Х° + ни, х) = Z (^°. х), (113.9)
и
Wv(X° + wi) = 'El*?W°(X°). (113.10)
ч О
Подставляя (113.8) — (113-Ю) в (113.7), получаем член s-й степени по х в виде
s—1
х* (Ж\ — W°) Ф* = - Z - №<?-*>) чфе». (113.11)
Отметим, что каждое из этих уравнений является однородным уравнением s-й степени по переменной и. Будем считать, что все решения (113.11) известны в любом нужном порядке.
