Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
362
Глава 11
преобразований полного гамильтониана *) и на основе нового многочастичного вариационного метода [100]. Краткий обзор полученных результатов дали Раджагопал и Коэн [101]. Эти работы обсуждаются также в нескольких статьях Трудов конференции по фояонам 2) и в статье [102].
Для целей нашей книги адиабатическая теория представляется вполне адекватной и допускающей сопоставление с экспериментом. Поэтому мы положили ее в основу рассмотрения, за исключением специально оговоренных случаев.
Проследшч теперь путь перехода от уравнения Шредингера (113.44) к более удобному и знакомому уравнению [4]. Заметим, что, как видно из (113.12), кинетическая энергия в (113.44) имеет диагональный вид относительно производных по декартовым смещениям, т. е. она представляет собой сумму квадратов. Но потенциальная энергия в (113.28) имеет вид общего квадратичного выражения относительно динамических переменных {«/}. Набор {uj} содержит все декартовы компоненты, так что мы можем теперь восстановить все индексы, опущенные в
(113.6), если сделаем подстановку
Тогда потенциальная энергия в уравнении Шредингера (113.44) соответствует классическому выражению (67.8). Следовательно, определенные в (67.7) микроскопические силовые постоянные получили обоснование: силовые постоянные являются вторыми производными полной электронной энергии (в адиабатическом
приближении) по смещениям ядер н0^^. Однако даже в гармоническом адиабатическом приближении уравнение (113.22) не является разрешимым, так как из-за наличия перекрестных членов в (113.28) мы имеем дело со связанной дина'мической системой.
Первый этап решения требует, чтобы (113.28) было приведено к диагональной форме (допускающей разделение). Для этого нужно ввести нормальные координаты. Эта процедура в точности совпадает с уже выполненной нами в гл. 8 и 9. Возможно, полезно повторить эту процедуру, начиная, например, с уравнения (73.1) и т. д., где вводятся вещественные нормальные
§ 114. Нормальные координаты и квантование
(114.1)
') X. Билц, Е. Зибелл, неопубликованная работа.
г) Proceedings of the International Conference on Phonons, Rennes, 1971,
Симметрия и квантовая динамика решетки
363
координаты qt :
Ua(н) = 'Щ;^T‘ea{x\lp)q|<>, (114,2)
или (80.9), (86.1), где вводятся комплексные нормальные коорди-наты q( * ):
( х )'" УлЬ I ? ? етр Л ( х| * ) 0 ( t)' (‘ И'8)
Оба эти преобразования приводят классическую потенциальную энергию к диагональному виду и, следовательно, расцепляют члены в (113.22).
В § 101 было установлено, что удобный способ учета полной группы пространственно-временной симметрии % состоит во введении в качестве динамических переменных комплексных нормальных координат так как именно они являются ба-
зисом неприводимых представлений группы 3. Таким образом, для учета симметрии кристалла комплексные нормальные координаты являются более удобными.
С другой стороны, в квантовой механике более удобными являются вещественные основные переменные, так как комплексные классические координаты и импульсы при выполнении процедуры квантования дают локальные степени свободы, обусловленные калибровкой ([103], стр. 12). При обычном рассмотрении [4] вводят либо вещественные нормальные координаты первого рода
{ 7r(Q(D+Q( D)'
либо вещественные нормальные координаты второго рода
»G!)_*[°G!)+e( *)]+ +(^)[<‘НГ‘)]- (п4-5)
Большое преимущество нормальных координат (114.5) состоит в том, что они описывают бегущие волны |4], а после квантования описывают фононы.
864
Глава It
Сопоставление трех наборов вещественных нормальных координат Показывает следующее. Набор {<7/р} с /р=1, ..., s-l/, определенный в (114.2), не является базисом неприводимых представлений группы © или копредставлений группы набор
вещественных нормальных координат первого рода
с X = 1, 2 и /й = 1, ..., If тоже не является базисом неприводимых представлений во всех случаях, кроме вещественных (k\ '( k\ Ql . I; набор вещественных координат второго рода I . I
V /р, / V l[i J
с (х= 1, ..., I/, определенный в (114.5), тоже не является базисом неприводимых представлений во всех случаях, кроме ве-
щественных Ql . I. Так как условие вещественности, вообще
' /ц '
говоря, не выполняется, можно сделать вывод, что обычная процедура квантования [4, 63], применимая к вещественным нормальным координатам, не совместима с выполнением свойств симметрии нормальных координат.
В последующем рассмотрении, мы воспользуемся обычной процедурой и просто предположим, что можно выбрать совокуп-
( h\
ность нормальных координат q I . I, которая, с одной сторо-
V !у. '
ны, является базисом неприводимого представления унитарной группы © и может быть использована в качестве базиса копредставлений группы $, а с другой стороны, может квантоваться обычным способом без появления ложных степеней свободы. Далее, мы предположим, что при преобразовании Ри, где и — унитарный оператор {<р|0.из группы ©, имеем
рЛ -т)- (П4.6)
V/а/ ^ V/pA
Тогда, используя обычное правило
кп\ ft д
(114.7)
¦ /ц .
уравнение (113.22), содержащее квантовомеханический гамильтониан, можно привести к- следующему виду:
