Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разложениях (110.17), (110.18) и т. д.
Рассмотрим теперь выражение для члена первого порядка в 31, когда в качестве основного набора динамических переменных выбраны повернутые декартовы компоненты смещений. Из рассмотрения, аналогичного (109.71) — (109.74), имеем
(П0.21)
a
но одновременно , '
Применение теоретико-группового анализа
347
Преобразование коэффициентов в (110.13) и (110.22) имеет вид
e
так что преобразование этих величин является преобразованием полярного вектора. Аналогично тому, что было для соответствующих коэффициентов в разложении кристаллической потенциальной энергии, требование инвариантности «физического тензора» Ма, р ^ ^ дает условие инвариантности этих величин при преобразованиях симметрии кристалла:
<.(')“"¦*(*)• <110-24> Выразим теперь повернутые смещения (и*р)а(х) через нормальные координаты и воспользуемся условием инвариантности (110.24); тогда из (110.22) получим
(110.25)
или
<110-26>
*т / V
При этом, используя (86.30), имеем
<’ “ Z Z Z м> (/') Z Z °(*‘) ч () • a 1 »¦»)
I v v a li 11
Это выражение для преобразованных a-компонент М(1). Но основное правило преобразования (110.21) и выражение (110.1-7) дают -
<’ - Z - Z f.. Z Z «¦ (^) Q( /”) ¦ (110-28) ° a *0
Так как преобразования (110.27) и (110.28) должны давать одинаковые результаты, то мы можем приравнять их. Учтем,
348
Глава 10
кроме того, что
Фаа = °{Г) ({фр})ва-
(110.29)
Тогда
(110.30)
Легко видеть, что это равенство выполняется, если предста-
тождественно равно D<r). Но это возможно только в том случае, если, например, в кубическом кристалле
Следовательно, единственными нормальными колебаниями, для которых существует линейный член в разложении (110.17), являются три колебания, преобразующиеся как полярный вектор
компоненты трехмерного векторного представления.
Для членов второго порядка доказательство проводится аналогично. Тогда необходимое и достаточное условие существования отличного от нуля члена второго порядка (110.19) имеет вид
Необходимым условием появления пары определенных коле-
В (110.33) символ векторного представления записан в виде Гг. В кубическом кристалле он равен Г^15-'. Анализ можно выполнить как методом малой группы, так и методом полной группы. Ясно, что для кристаллов, группа симметрии которых содержит инверсию, нормальные колебания одной и той же четности не могут появляться вместе в произведении, входящем в MS2). Другие такие же полезные и простые правила можно получить по известным коэффициентам приведения каждой пространствен-
вление по которому преобразуется фонон
(110.31)
В кубическом кристалле, очевидно, имеются три
?)(**)(/) ® ?)(**') (Л содержит D(r). (110.32)
баний в ряде по степеням
ненулевое значение коэффициента приведения:
(*kj*kj' |Гг) ф 0.
очевидно,
(110.33)
Применение теоретико-группового анализа
349
ной группы. Ниже будут приведены примеры такого анализа для групп симметрии алмаза и каменной соли.
Члены более высокого порядка можно рассмотреть таким же способом. Так, член s-й степени M(s) будет содержать произведение s множителей, являющихся нормальными координатами
<1) Необходимое и достаточное условие существования
рассматриваемого произведения состоит в том, что прямое произведение
?(**)</>®?(**')</') о ... )(/<*>) (110.34)
содержит представление D(r). Если это представление содержится, то с помощью операторов проектирования можно определить линейную комбинацию произведений, образующую линейное векторное пространство 2(г). Это эквивалентно тому условию, что силовая постоянная s-й степени, соответствующая (110.15), не равна нулю. Полное доказательство для членов более высокого порядка такое же, как для членов низкого порядка.
Требование, чтобы (110.34) содержало D(r), эквивалентно требованию отличия от нуля соответствующего коэффициента приведения. В рассматриваемом случае для кубических кристаллов он имеет вид
... *fc<s>y(s) | Г15 -)• (1 Ю.35)
Для определения правильных линейных комбинаций нужно использовать операторы проектирования или, если они известны, коэффициенты Клебша — Гордана для возникающих в теории тензоров.
Аналогичное рассмотрение с соответствующими изменениями можно применить для построения отдельных членов разложения поляризуемости Р по степеням смещений или нормальных координат:
p = p(i) + p(2>+ ... +р«+ .... (110.36)
Чтобы соответствующее произведение сомножителей, являющихся нормальными координатами, входило в разложение (110.36), каждый член произвольной степени в отдельности должен быть тензором второго ранга.
Переходя к обозначениям (110.10), мы видим, что необходимым и достаточным условием появления члена' определенной заданной степени в разложении поляризуемости является неравенство нулю коэффициента приведения:
(110.37)
350
Глава 10
В случае кубического кристалла это означает, что по крайней мере для одной компоненты (110.11) коэффициенты не равны нулю. Детали доказательства такие же, как в соответствующем случае для оператора дипольного момента.
В заключение укажем общую схему. Для любой физической величины, которая преобразуется ковариантно при общих поворотах, нужно сначала найти представления группы ®, т. е. пространственной группы, по которой преобразуются компоненты ковариантной физической величины. Чтобы в разложении этой физической величины по нормальным координатам возникло некоторое конкретное произведение, необходимо, чтобы это конкретное произведение содержало линейное векторное пространство, соответствующее тем же представлениям группы что и при преобразованиях коварианта как целого. Так как нормальные координаты, согласно (86.30), являются базисом для неприводимого линейного векторного пространства, во всех случаях, чтобы выбрать конкретное произведение, нужно использовать правила приведения обычного и симметризованного произведений матриц и степеней неприводимых представлений пространственных групп.
