Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
<?= П y.(*kj): (116.2)
*/
Тогда симметризованную волновую функцию можно записать в виде
х?имм) (<?) = 2% (q), (Пб.З)
где ъ(я) определено в (115.9).
Рассмотрим теперь общую операцию симметрии {ф|/} унитарной группы @, которой, согласно (114.6), соответствует представление Di*k)U). Из анализа инвариантности классического гармонического гамильтониана в § 110 следует, что экспоненциальный множитель в (115.9) зависит только от суммы квадратов нормальных координат:
(пм,
о,/,ц к
Из (110.10) — (110.15) непосредственно видно, что квадратичная форма (116.4) является квадратичным инвариантом при преобразованиях q с помощью унитарных преобразований из группы ©.
Следовательно, чтобы установить, как преобразуется полная собственная функция колебаний решетки под действием унитарных пространственных преобразований, нужно исследовать только преобразование второго множителя в (115.9).
§ 117. Преобразование произведения полиномов Эрмита: симметризованное произведение представлений
Чтобы установить правила преобразования симметризован-4 ной волновой функции (116.3) при преобразованиях пространственной симметрии, мы проведем рассмотрение в несколько этапов. Во-первых, возвращаясь к (115.9), мы изучим преобразование всех членов некоторой цепочки сомножителей, относящихся к заданному неприводимому представлению ?)(**)(/). При этом из произведения (115.9) оказываются отобранными s-lm множителей с фиксированным k, всеми ka {а = 1, ..., s) из *k и всеми связанными с ними (ц= 1, ..., //). Сначала мы рассмотрим преобразование такой цепочки сомножителей, а затем выполним симметризацию.
Цепочка сомножителей, относящаяся к /)(**)</>, состоит из двух множителей: экспоненты с показателем типа (116.4), не зависящей от чисел заполнения /, ц, и произведения полиномов Эрмита. Как указано в тексте после формулы jll6.4), экспонента ведет себя тривиальным образом. Наша задача состоит
Симметрия и квантовая динамика решетки
369
в выяснении поведения «нетривиального» множителя в (115.9). Интересующее нас произведение имеет вид
ПП1Г—М?;)), 017.D
о I Ц и
где я0.;,ц — квантовое число осциллятора <7Г ,а'j (число воз-
\ /ц /
бужденных фононов). Чтобы несколько упростить обозначения, в последующем изложении мы опустим индекс /, который считается фиксированным, и запишем
!*)¦
Напомним, что полиномы Эрмита #«(?) являются полиномами степени п относительно | [106]. В произведении (117.1) такие полиномы перемножаются и член старшей степени в произведении имеет вид (мы снова упростили обозначения)
?П1 ?П2
5] I *2 ’ • • • > *slj >
где
ni + «2 + • ¦ • + ns[ = Е ti (а, (а) = п (*kj)
/ ' ац
есть полное число квантов, которое распределено по всему множеству состояний, относящихся к Последующие члены
произведения (117.1) при этом линейном преобразовании преобразуются в члены той же степени. Тогда оказывается, что мы можем ограничиться только одночленами наивысшей степени, выписанными выше в качестве типичного примера. Это первый шаг нашей программы, разработанной Тисца [107]'). Такой же результат получится, если записать полином Эрмита через производящую функцию
(|) = (- 1)пе12дпе~1Чд%п.
Тогда Нп преобразуется по отношению к \п ковариантно. Это верно для каждого Нп, входящего в рассматриваемую цепочку сомножителей. Поэтому и можно рассматривать только одночлены наивысшей степени 2).
Во-вторых, мы запишем унитарное пространственное преобразование в той преобразованной координатной системе, в которой оно диагонально. При таком преобразовании одночлены только умножаются на некоторые степени диагональных матричных элементов. Следующий шаг состоит в симметризации по
Ч Мы следуем работе [107J с некоторыми изменениями.
*) Это рассуждение-было предложено доктором И. К. Чо.
370
Глава 11
всем состояниям, относящимся к одной матрице Этот
шаг, хотя и нетривиальный, можно выполнить в явном виде. Мы продемонстрируем его на примере так называемых «простейших» симметричных полиномов.
Наконец, будет вычислено преобразование полной собственной функции (116.3): она является произведением отдельных сомножителей, каждый из которых относится к определенному ?)(**)(/) и каждый из которых симметризован независимым образом.
Чтобы выполнить первый пункт намеченной программы, мы рассмотрим только представление ?)(**)(/), базис которого равен
Мл)................."©.....»(л,)}- (n7-2)
Рассмотрим элемент {фЮ группы ©, представленный матрицей ?)(**)(/) ({ф | *}) аналогично (86.40). Пусть эта матрица приведена к диагональному виду с помощью некоторого унитарного преобразования V:
V~lD{*k) (/) ({q> Ю)^ = D(*k) и) ({Ф | 0), (117.3)
где
D{*fc) U) ({q> 10W tv = 4а) (%Av (117.4)
Тогда V дает эквивалентный базис
Мл)...........Л\)..........«'(л,)}- <117-5>
в котором для выбранного нами элемента симметрии каждая штрихованная нормальная координата умножается при преобразовании на константу:
Р{<р 1 t)Q' ( k ) = d^(l)q' ( k ) ’ (117-6)
Вследствие свойства инвариантности следа из (117.3) имеем
Х<*‘)('Ч{ф10)=?4аШ). (П7.7)
а, и
Для р-й степени, вообще говоря, согласно (117.6), имеем
