Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2(**) «) ® 2(**') (/') ® (П. (109.63)
Примеси состояний, связанных с другими пространствами, не возникает. Ясно, что в пространстве произведения (109.63) имеются представления
® ?>(**') <''> ® ?><**') <И. (109.64)
Но из приведенных ранее соображений инвариантности следует
ф/(з) = ф(з). (109.65)
Напомним, что для обозначения единичного представления мы выбрали символ (Г) (1 + ); тогда
ф(з>~?)(г>и+). (109.66)
Следовательно, члены, соответствующие пространству произведения (109.63), будут возникать, только если при выполнении процедуры приведения прямого произведения возникает единичное представление /)(Г)(,+). Таким образом, в (109.56) будут появляться только такие произведения нормальных координат, для которых коэффициенты приведения отличны от нуля, т. е.
(*km*Vm'*k"m!'\T({+))*0.- (109.67)
Применение теоретико-группового анализа
341
Легко заметить, что этот результат содержит в себе наряду с трансляционной и поворотную симметрию. Так, например, правило отбора для волнового вектора
( 2пВн
k + k' + k" = \ " . _ (109.68)
(,0 с точностью до 2пВн,
следующее из трансляционной симметрии, очевидно, является следствием того требования, что Г(1 + ) должно содержаться в (109.67). Конечно, ограничение (109.67) еще более жесткое, так как оно учитывает также преобразование при поворотах.
Мы можем обобщить эти результаты на любой член ряда (109.7). Рассмотрим для примера член s-ro порядка в разложении, который можно записать в виде
, , / k k' .. . ft<*> \
"тг^ЕZ • • • Zav(i г... у»)х х^М/')—0^'.)- (Ш9-б9)
Здесь по аналогии с (109.57) имеем
(k k' ,.JW\ г ^ (l Г ... № \
v\l Г ... iis) / ? ? "¦ ? °aB"vL и'... x<‘>Jx
1 ш t'K'fr /Wnlsly
)ep(xi//) ••• ev(x(s)|i(s) )x
‘X exp{/(k-RL + k'-RL,+ ... + ftW • RlW)}. (109.70)
Произведение (109.69) преобразуется в соответствии с представлениями прямого произведения
?>(**) <Л ® ?>(**') <л® ... ®?>(**(s)) (/<*>). (109.71)
Очевидно, произведение (109.69) можно представить в виде суммы по пространствам, и утверждение (109.71) эквивалентно утверждению, что произведение
<‘Мг)-С)
является базисом векторного пространства для произведения 2(**)</>®2(**')(Л® ... <g>2(**(s))(/<s)). (109.73)
Необходимым и достаточным условием того, что конкретный набор произведений нормальных координат возникнет в ф<*>,
342
Jлава 10
состоит в той, что соответствующие коэффициенты приведения характеров не равны нулю, т. е.
(*kj*k'j' ... *#*>/<*> | Г (1+))'#0. (109.74)
В тех случаях, когда это нужно, обычные произведения следует заменить симметризованными.
Тривиальное следствие (109.67) или (109.74) получается из соответствующих правил отбора для волнового вектора. Для случая (109.67) оно имеет вид
(*к*к^*кГ\Т)фО, (109.75)
или для некоторого набора волновых векторов (по одному из каждой звезды)
ka + k’a, + k''„ — 0 (с точностью до 2яВн). (109.76)
Во всех наиболее важных приложениях существенно разложение (109.7), записанное через нормальные координаты-
(к \
Qyj J и содержащее в каждом члене определенную степень
нормальных координат, как в (109.69). Поэтому чаще всего просто выписывают заранее разложение типа (109.7) для гамильтониана (например, для потенциальной энергии) или для какого-либо другого кристаллического инварианта. Задача, которую следует решить, является теперь обратной задачей по отношению к задаче определения совокупности независимых силовых постоянных в координатном пространстве, решенной в (109.41) и (109.42) (силовые постоянные второго порядка) или в (109.56) , (109.59) и т. д. (силовые постоянные третьего и более высоких порядков). В разложении типа (109.69) можно установить, какие комбинации или произведения нормальных координат q( . I будут иметь отличные от нуля коэффициенты *
К;:::) . Ответ дается формулой (109.74). Если мы исследуем
член в (109.69), в котором данное нормальное колебание j ^
встречается р раз, то соответствующее произведение в (109.74)' оказывается симметризованным произведением матриц, напрн-мер [й(**)(/)](р)и т.д. Однако если имеются два различных (не*
зависимых) нормальных колебания с одинаковой симметрией, то в (109.74) входит обычное произведение [/)(**) (/)]
Обсуждение свойств кристаллических инвариантов до сих пор проводилось в рамках теории представлений унитарной пространственной подгруппы @. Как известно, следует учитывать
Применение теоретико-группового анализа
343
также симметрию обращения времени. Это можно сделать двумя способами аналогично рассмотрению § 88—94 (или § 95—102). Так, мы можем рассмотреть операцию К комплексного сопряжения, определенную в § 88 [уравнение (88.1)]. Тогда требование инвариантности относительно обращения времени дает вещественность потенциальной энергии:
К~'ФК = Ф* = Ф. (109.77)
Условие (109.77) можно применить к каждому члену (109.7), так как члены с различными степенями не смешиваются под действием операции комплексного сопряжения. Можно убедиться в том, что конкретное применение (109.77) приводит к равенству некоторых коэффициентов в (109.69), обеспечивающему вещественность (109.77). Каждый случай должен рассматриваться отдельно.
