Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
I ? I El-й'Чку+'"’(^W»(t)‘+¦®р-~Е 1х
¦.({»(;)})
XXv U Г Г -0. (114.8)
Симметрия и квантовая динамика решетки
368
Уравнение (114.8) является уравнением Шредингера для движения ядер в гармоническом адиабатическом прибли* жении. • '
§ 115. Собственные функции колебаний решетки в гармоническом адиабатическом приближении
Уравнение (114.8) содержит сумму членов, и поэтому переменные в нем разделяются. Откажемся на время от предположения о вырождении колебаний q , которое явно содержится
в (114.8), так как a>2(ka\j) не зависит от ц. Тогда каждую из 3rN координат можно рассматривать как независимую. При этом решение уравнения (114.8) записывается в виде произведения
где каждая функция зависит только от одной координаты
Так как I,- нормальных колебаний для заданных ст, / вырождены, то со2 (ka |}) не зависит от индекса цг Тогда у волновых функций отдельных осцилляторов можно опустить индекс а и записать их в виде
(115.1)
q ^ . у Тогда каждая функция удовлетворяет отдельному уравнению для гармоничеокого осциллятора
Здесь
^ a foalix) ' |^сг/ц "Н 2 (^сг I /)•
(115.3)
-сехР-[1у„,(«(-;))]я„..,(у„.,«(•;)). ("5.4)
где
366
Глава 1!
а Нл (yq) — полином Эрмита порядка п; С — нормировочная постоянная:
Полная колебательная энергия в гармоническом адиабатическом приближении получается суммированием по всем осцилляторам
Полная энергия системы, включающая колебательную и электронную части, равна
где Ф° — электронная энергия, а индекс v для частот отброшен.
Полные колебательные собственные функции системы строятся из функций (115.4) в гармоническом приближении в виде произведения:
Эти гармонические волновые функции будут использованы нами ниже в конкретном анализе. По-видимому, следует отметить, что гармоническое представление (115.9) является следствием гармонического гамильтониана. Собственные функции (115.9) не составляют полного набора, так как нужно учесть еще общую симметрию, связанную с неразличимостью осцилляторов, соответствующих одному и тому же неприводимому представлению. Такая естественная симметризация, обусловленная статистикой, будет обсуждаться ниже в § 116.
Более общим уравнением адиабатической теории, описывающим движение ядер, является уравнение (113.25). Хотя наш общий теоретико-групповой анализ правил отбора и симметрии собственных состояний не зависит от применимости гармонического адиабатического приближения, конкретное обсуждение различных процессов поглощения и рассеяния будет выполнено ниже с помощью волновых функций в виде произведения
(115.6)
(116.7)
*. а. /. Ц
я-ф™+ ? Dm4.,ю. <115-8>
(115.9)
(115.9).
Симметрия и квантовая динамика решетки
307
§ 116. Симметрия волновых функций колебаний решетки в гармоническом приближении. Введение
В соотношении (114.6) мы считали, что нормальные координаты q ( . I преобразуются друг через друга в некотором не-
\ 1\1 У
приводимом линейном векторном пространстве. Матрица преобразования при этом является характеристикой неприводимого представления унитарной кристаллической пространственной группы ©. Рассмотрим сначала преобразование волновых функций колебаний решетки, имеющих вид произведения (115.9), под действием операций {ф| пространственной группы. Оказывается весьма существенным, что преобразование (114.6) является линейным и однородным. Применим лемму о существенном вырождении, из которой следует, что классификация состояний всегда такова, что состояния с разной симметрией можно рассматривать порознь. Далее, мы установим связь предыдущего рассмотрения с теорией симметрии n-мерного изотропного гармонического осциллятора [104]. Три параграфа, § 116—118, заканчиваются обсуждением симметрии общей адиабатической решеточной волновой функции, являющейся решением уравнения (113.18) и полной волновой функции кристалла (113.11) в адиабатическом приближении.
Еще один возможный способ записи волновых функций
(115.9) состоит в задании упорядоченного по величине набора, целых чисел, соответствующего упорядоченному расположению различных множителей в (115.9). Такая запись гармонических собственных функций особенно удобна, конечно, когда обсуждение свойств решетки ведется в представлении чисел заполнения или в iV-представлении вторичного квантования. Волновая функция в этом представлении имеет вид
|n(*kj), ..., n(*k'n, ..., n(*k"j"), ...>. (116.1)
Когда волновая функция (115.9) записана таким способом, следует обратить внимание на то, что в многоосцилляторной волновой функции существенна не занятость любого конкретного участвующего в представлении /)(**)(/) состояния, а полное число квантов n(*kj), которое должно учитывать все участвующие состояния.
Согласно общим принципам квантовой механики [105], собственная функция любого ансамбля одинаковых фононов (бозонов) должна быть симметричной по отношению к перестановке одинаковых частиц вырожденной совокупности. Поэтому (115.9) нужно симметризовагь по отношению к перестановке частиц. Пусть У обозначает симметризацию. Очевидно, что для каждого
368
Глава 11
представления SP можно представить в виде
