Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 109

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 127 >> Следующая

лексным
м нормальным координатам Q^. Из (80.9) получим
)*"¦**• <10МЗ>
* /
Подставим (109.43) в (109.7) и упростим полученное выражение. Рассмотрим типичный кубический ангармонический член
(109.9), в который подставлено преобразование (109.43). Мы можем продолжить обсуждение двумя способами. Выполним сначала прямую подстановку. Напомним свойства преобразованных силовых постоянных при простой трансляции на вектор решетки РПри таком преобразовании смещение и оказывается преобразованным в иг.
(“7')a(z к z)=““(!)¦ (109'44)
Потенциальная энергия Ф(3) тогда имеет вид
i — iv — i i" -1
чеее«^ГГ'Г;')х
1-1 I'-l V'-l
ф(3)
о i—t i—t
l-l l’-l к, а и', В и", у
х{иг)а(\1){ит)*(\'1Уит)у{1\"1)' (109,45)
где, как обычно,
maJl~l v~l 1"~,1)=фчу(1 1\ 1",Х <109-46)
\ И К И / \ и я и /
Но благодаря трансляционной инвариантности решетки при трансляции на произвольный вектор решетки Rl
^ civ i"\ (i-iv-ii"—i\ ппп
ФЧ**'*"ГФЧ х / «• > (т47)
Во-первых, мы требуем, чтобы кубический ангармонический член Ф(3) был, как обычно, инвариантен при трансляциях
Применение теоретико-группового анализа
337
О l'-l l" — l
(109.48)
Равным образом мы могли бы положить произвольную вели чину I равной I' или I", так что
Чтобы установить дальнейшие ограничения на силовые постоянные некоторого кристалла с пространственной группой ®, мы можем применить операции симметрии из ® с помощью
(109.17) и (109.49) и таким способом установить соотношения между силовыми постоянными. Независимые силовые постоянные, как правило, оказываются собранными в группы, относящиеся к определенным «оболочкам». Поскольку рассмотрение этого вопроса не является нашей целью, мы снова отсылаем читателя к книге Либфрида и Людвига [6].
Возвратимся к обсуждению выражения (109.9) и подставим в него (109.43), (109.47) и (109.49); тогда получим
В (109.50) мы умножим правую сторону (под знаком суммы) на единицу, записанную в форме
0 l'-l l"—l
t ft К К к
1-1' 0 1"—1' к к к"
)
(109.49)
* е“( х | j )6(5 ( к' |Г ) ву ( | j" ) Х
X ехр {г (А • RL + k'- RL, + k" • *L»)}- (109.50)
exp {i(k' .gL-k'RL + k" ¦Rt'-k" • Rj)}. (109.51)
338
Глава 10
Затем, производя замену решеточных индексов суммирования, получим в девятикратной сумме справа в (109.50)
| ? ехр/(ft RL + k'- RL + ft" - Rl) j X
4' V* V* V* ^ гТ) (® I' — / /"—1\
X L L L Af )¦/, ХЛ x// JX
ка I -I н"у \ X X К /
Xe«(^x|k. )ep(*'|* ).eY(x"|*
X exp i {k' • (Rv - Rl) + k" . {Rv> - RL)}. (109.52)
Суммирование по / дает решеточную А-функдию A(ft-fft' + ft"),. где
( 1, если Ti + k' + k" = 2nBH,
A(ft + ft' + ft") = « п (109.53)
v ^ 0 во всех прочих случаях.
Так как векторы k, ft', ft" определены в первой зоне Бриллюэна, ограничение (109.53) требует, чтобы их сумма равнялась нулю или 2лВн. Тогда можно определить фурье-компоненту силовых постоянных следующим образом:
^ (k k' k" ^ V1 V V /тч ^ 0 А А" ^
Ф V / Г Г ) = L L' L ) {М м м„.//¦ х
на V&V К"-л"у \ к к к j
X е“ ( к | У ) ер ( | j' ) еу ( у" j /" j ехр i {k' ¦ Rl -f k" ¦ Дг}.
(109.54)
Следовательно, мы теперь можем записать Ф(3) в виде
ft} ft J ft J
' XA(H*4 ft"). (109.55)
Это стандартная форма силовых постоянных, и (109.55) тождественно совпадает с известными результатами [см. [4], уравнение
(39.2)]. При получении (109.55) мы использовали трансляционную симметрию кристалла, и ограничение, связанное с применением Д-функции, сделало запись более сжатой. Однако запись
(109,55) неудобна для исследования полной симметрии кристалла (трансляции и повороты).
Применение теоретико-группового анализа
339
Мы определим силовые постоянные, преобразовав (109.11) с помощью (109.10):
*/ *у ь I
(109.56)
где
u(k k' k"\_ ^ v ^ ^ (ll'l"\ ,
i' i" *' к") (MKMK,M„,,)'I>X
Xea(x|^)ep(x'|* )ev(x"|^ )x
. Xexp {i{k-HL + k' <Hv + k" -HL„)}. (109.57)
Рассмотрим выражение для ангармонического члена Ф(3), когда в качестве динамическихпеременных в нем использованы декартовы компоненты смещений ионов, преобразованные с помощью преобразования Р{<рр} из группы ©. Другими словами,
мы напишем вместо (109.11) выражение для Ф(3> через пере-менные («*,)„ (и т. д.:
In a In 6 Гп у
хЮ,(1')(ч),(1*)- <,09-и>
Штрихованные компоненты силовых постоянных, согласно условию инвариантности (109.56), равны нештрихованным компонентам, то есть
®'w=tZ е i%»(!S S)k).(1)x
Ыа I'x't3 l"Wу
ХК)„С')КЖ(?)- (109'59)
Воспельзуемся соотношением, связывающим повернутые смещения ионов через исходные плоские волны и неповернутыё собственные векторы:
w«C) чт ? Е (*| /) (t) • <109 60)
340
Глава 10
Тогда, используя (86.30), получаем
Подставляя (109.60) и (109.61) в (109.59), имеем
К К' к,
, ^ „ (k k . k"\
ф/<3)=nw ЕЕ Z у(/ /', /"„)х
*Wv*v,*V. v w
т' V Т" V
х Е Е Е D<*‘)iwt...0<V) <п ыи* x
ОЦ a'n' cr"|x"
X «"> W^vQ^jQ^j^j, (109.62)
где У определено в (109.57). В результате выполненного преобразования первоначально входившие в Ф(3) члены перепутываются и образуют линейные комбинации (109.62). Таким образом, это преобразование приводит к смешиванию друг с другом (s •//) (s'•//') (s" •//")-членов, относящихся к полному пространству произведения
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed