Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
х(*‘)(/)({ф|0Р)=Е(4а)(/))Р. (П7.8)
О, |1
Полезно отметить для дальнейшего, что (117.7) и (117.8)
можно рассматривать как запись стоящих справа сумм (отдель-
Симметрия и квантовая динамика решетки
871
ные значения d^(/> до сих пор не определены) через стоящие
слева и вычисленные по общему правилу (37.3) характеры.
Возвратимся к обсуждению (117.1). Рассмотрим те множители в (117.1), которые относятся к координатам (117.2). Они имеют, например, такой вид:
(Опустим на некоторое время значок j и не будем выполнять симметризации.) Цепочка сомножителей (117.9) описывает состояние, в котором имеется п( 1, 1) фононов [п( 1, 1)-е состояние гармонического квантового осциллятора] осциллятора с коорди-
натой q , плюс плюс п(а, ц) фононов осциллятора
число фононов во всех состояниях в пространстве (117.2) равно
Очевидно, симметризация, подобная сделанной в (116,2), и означает с физической точки зрения, что полное заданное число фононов (117.10) должно быть распределено всеми возможными способами по состояниям пространства (117.2). Рассмотрим для примера произведение (117.9). Исследуем поведение сомножителя
Член наивысшей етепени в (117.11) является одночленом сте-
теперь, что мы рассматриваем эквивалентное пространство штрихованных функций (117.5). Тогда применение преобразования {<р|т} только умножает упомянутый о’дночлен наивысшей степени на множитель
Тогда рассматриваемое произведение (117.9) умножается на
(117.9)
ПЛЮС tt(s, ) фононов
Полное
n(*kj)= ? п(а, ц).
(117.10)
(117.11)
пени п(а, ц) от нормальной координаты
(117.12)
который является п(а, ц)-й степенью диагонального элемента.
372
Глава 11
произведение
Пи^'Т0’^ (117.13)
а, ц
так как от каждого соответствующего сомножителя в (117.9) появляется по одному множителю.
Тогда, если бы заданное произведение (117.9) было единственным членом в колебательной собственной функции, то произведение (117.13) было бы характером для {<р|т}. Нам необходимо симметризовать произведение (117.9) с учетом того, что всего имеется n(*kj) фононов. Эти фононы мы должны распределить симметричным образом по всем состояниям. Например, все фононы могут относиться к одному осциллятору, который будет находиться при этом в n(*kj)-м состоянии. Но из эквивалентности всех осцилляторов следует, что в таком состоянии может оказаться любой из них. В этом случае след полученного представления вычисляется в пространстве функций
Н«(**')(,(л))........С*(/„))’ •"
(117-14)
и равен
?' ur'T'**'1. (117.15)
(перест)
Здесь сумма по перестановкам означает суммирование по всем значениям (перестановкам)* (ст, (х) при условии, что сохраняется форма одночлена, возведенного в степень, равную числу фононов. В общем случае нам нужно распределить определенное число фононов n(*kj) некоторым заданным способом {«(а, (х)}. Тогда собственной функцией оказывается произведение (117.9) и соответствующий сймметризованный след для этого конкретного произведения имеет вид
Г П(4*“)“(U7.16)
(перест) <7, ц.
где означает суммирование по всем членам, в которых со-
(перест)
храняется форма.произведения, но индексы переставляются всеми возможными способами.
Но так как могут иметь место все возможные распределения, след должен быть суммой всех выражений типа (117.15) при условии, что каждое конкретное разбиение соответствует полному числу фононов: n(*kj\.
Симметрия и квантовая динамика решетки
373
Возьмем некоторое конкретное разбиение. Для простоты возьмем разбиение, для которого соответствующий член имеет вид (117.15), Тогда сумму (117.15) можно' рассматривать как полностью симметризованную сумму n(*kj)-x степеней каждого из членов d^)(l\ Можно выполнить другое разбиение с [n{tkj)— 1] квантами для одного осциллятора и одним квантом для другого осциллятора. Это приводит к симметрическим полиномам первой степени от для одного осциллятора и поли-
ному степени \п (**/) —-1] от dfH/)(/,) для второго осциллятора. При этом полная степень полинома, естественно, фиксирована и равна n(*kj). Аналогичные результаты получаются для других возможных разбиений.
Тогда представление симметризованного произведения с базисом
является симметризованной п (*kj)-й степенью представления
довательно, соответствующим симметризованным характером является величина
где S обозначает сумму по всем разбиениям.
Теперь мы должны выразить функцию, стоящую справа в
(117.18), через известные величины (117.7), (117.8), которые зависят от известных характеров степени преобразования Чтобы сделать это, мы должны обратиться к теории симметрических функций [108, 109]. Нам нужно выразить (117.18) через полную совокупность таких элементарных симметричных функций заданного числа переменных. Это можно, вообще говоря, сделать непосредственно [108, 109], но мы приведем здесь только результат и один пример.
Рассмотрим случай n(*kj) — 3. Тогда мы имеем дело со вторым обертоном (симметризованный куб Представлений). Имеется три элементарных симметричных полинома третьей степени. Из
(117.7) и (117.8) имеем
(117.17)
?>(**)(/>, по которому преобразуется совокупность (117.2). Сле-
