Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
где С — произвольная положительная постоянная;
Д — удельная пластическая диссипация энергии:
Д = Naea + A'gtifl -j- Mav~a -j- -j- Ту -f- 2//т. (29)
При наличии объемных сил с составляющими qa, <?р, qn следует заменить в соотношении (28) удельную диссипацию Д модифицированной удельной диссипацией Д^:
Дл = Д — h (qau + qfrb -j- qnvj).
112
Оболочки при упруго-пластических деформациях
Соотношение (28) принимает особенно простой вид, если рассматривать идеализированную двухслойную оболочку, считая, что толщина заполнителя Z постоянна и фиксирована, и разыскивать оптимальное распределение толщины (одинаковых) несущих слоев Ь.
Для двухслойной оболочки А пропорционально Ь, поэтому вместо (28) получим
Очевидно, что Ь в это соотношение фактически не входит.
Проектирование оболочки минимального веса сводится к построению решения системы уравнений предельного равновесия (см. стр. 100) с добавочным условием (28) или для двухслойной оболочки с условием (30).
Пример 5. Двухслойная цилиндрическая оболочка длиной 2L, шарнирно закрепленная на торцах х = ±L и нагруженная равномерным внутренним давлением р (рис. 8). Для двухслойной оболочки конечное соотношение (16) изображается шестиугольником abcdef (рис. 9), где теперь
МТ = ZbaT; NT = 1baTt (31)
причем b = b (я) является искомой величиной.
Следует ожидать, что при рассматриваемой нагрузке > Oi Мх > О, поэтому пластическое состояние оболочки должно относиться к участкам шести-
угольника, лежащим в первом квадранте на рио. 9. Одиако отрезок ab приводит, согласно закону течения (17), к нулевой скорости прогиба ш » Не? = 0. На отрезке аI имеем
ЕФ ^ •
что несовместимо с соотношением (30). Рассмотрим состояние а, для которого Мх = М т; Ny — — Nr- Подставив эти зиачеиия в уравнение равновесия
amx n ----------v. = — р
dx2
и используя выражения (31), получим для определения b дифференциальное уравнение второго порядка
d*b 1 . р
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 113
решение которого, удовлетворяющее условиям Мх = О при х = ? L. будет
Ь= РК гг chx/^ZR 1 оГ L ch UVZR J ‘
(33)
Остается проверить, что условие (30). принимающее в рассматриваемом случае вид
d2w 1 • с
~dx^ YR w~ "z" ' (34>
допускает решения, совместимые с условиями закрепления w = 0 прн х =» +L и законом течения для точки f
о с
' dx2
Решение уравнения (34) имеет вид
w = — Г1— 1.
z L Ch l!]TzR J
Рис. 10
Оно удовлетворяет условиям (35), если
L <, \Trz arcch 2 = 1,317 JfRZ .
Следовательно, распределение толщины (33) действительно дает конструкцию минимального веса лишь при не слишком большой длине оболочки. Профиль оболочки для L = |ГZR показан на рнс. 10. Решение для L > 1,317 приведено в работе [361.
Пластнчески анизотропные оболочки. Рассмотрим вопрос определения несущей способности, считая, что оболочка ортотропна, причем одна из плоскостей пластической симметрии касательна к срединной поверхности, две другие ортогональны линиям кривизны а, р. Если условие текучести (для плоского напряженного состояния) взять в форме
V 0,а )
РдРр °Р . °ар _
ОтаОге с2ф 4ар “ 1
где ага, org — пределы текучести в направлениях а, р, то соответствующее приближенное конечное соотношение [аналогичное квадратичному соотношению (12) для изотропной оболочки] будет иметь вид [101
1 (< А'аЛ'р
Л2 \ <4 Oj-aOj-p
/ I К MaMR
1 <4 OraPrfl
ф--мН-<Г —~+— +
*гр тгар
12 ( К М*Мв . М\
Л2 \ „2 ОтпОгя а2р т-ар
«*¦ тгар '
Соответствующий закон течения по-прежнему выражается соотношениями (17). В таком построении теории имеют место энергетические теоремы, сформулированные иа стр. 104. Уравнения теории оболочек при других формах анизотропного условия пластичности, а также различные примеры и приложения приведены в работах [10, 24].
Заметим, что конструктивно анизотропные (оребрениые) пластические оболочки обычно не могут быть сведены при расчете к эквивалентной физически анизотропной оболочке и требуют специального анализа [11 ].
114 Оболочки при упруго-пластических деформациях
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ Установившаяся ползучесть
При установившейся ползучести общие пространственные уравнения ползучести аналогичны по структуре уравнениям деформационной теории пластичности с упрочнением. С другой стороны, кинематические гипотезы, лежащие в основе теории как упругих, так и упруго-пластических оболочек, не связаны со свойствами материала и потому применимы также для состояния установившейся (и неустаиовившейся) ползучести оболочек. Поэтому можно сразу же получить определяющие уравнения для ползущей оболочки из уравнений (1), заменив в них всюду компоненты деформации срединной поверхности ёа, Ер, .... т соответствующими скоростями Еа, Ер, .... т и приняв в качестве функции упрочнения О; = С/ (е^) надлежащую зависимость между интенсивностями напряжений и скоростей деформаций ползучести, например, степенной закон
Y; = Bxf, (36)
где yi — V Зе,- — интенсивность скоростей деформаций сдвига; т? = 1
= — о, — интенсивность касательных напряжении.
Зависимости между скоростями обобщенных деформаций еп, . . ., т и компонентами вектора скорости срединной поверхности и, v, w получаются дифференцированием по времени соответствующих зависимостей для упругой оболочки [гл. 20 т. 1 формулы (14)J, например,
