Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2. Полубескоиечная цилиндрическая оболочка, нагруженная . иа краю перерезывающей силой (рис. 3). Уравнения равновесия для этого слу-» чая имеют вид
^?.= 0 ; dQ* = ** dx х‘ dx R
причем иа краю х — 0; М х = О, = Q Воспользуемся конечным соотноше-
Л' М
ивем (15). которое здесь принимает вид квадрата = + 1, —г;— = ± 1 >
г т :
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 103
рнс. 4). Краю х = 0 на рис. 4 отвечает точка F. поэтому примем, что вблизи Nu
рая-----тт*— — I ¦ Из уравнений равновесия и краевых условий при этом
NT
аходим
dQ* - N* . л _ о "г .
d* « ’ Qx Qo R x‘
Согласно этому решению Mx возрастает при удалении от края, что иа рис. 4 ^ответствует движению от точки F к точке G.
$ о
х-0
ов
Рис. 3
1усть состояние G достигается в некотором сечеиии х = х*. Тогда Мх —М г при х = х *.
амж
dx
- ==0 при х = х *.
:з двух последних уравнений находим х* и предельное усилие Q0j
2
Участок х* < х < оо представл яет собой полубесконечиую оболочку, агружеиную по краю х = х* моментом МХ=МТ> Рассматривая упругое ешение для этого случая, убеждаемся, что всюду в области х* < х < оо пре-,ел текучести не достигается и, следовательно, эта область является честкой. Наконец, построим поле скоростей. На участке 0 < х с х* имеем.
огласно формулам (17): ку = —~г?- = 0. i«. < учитывая также, что при * ах Ф
— jc* прогиб обращается в нуль (так как область х > х* жесткая), иахо-.им w = w0 (х — **), где w0 — неопределенная положительная постоянная.
\ сечении х~х* производная ~~j~~ > очевидно, испытывает разрыв (рис. 5)
следовательно.
d2w
йхг
обращаетси в положительную бесконеч-ость. Это, однако, не противоречит соотношениям (17), поскольку в гловой точке С (рис. 4) требуется лишь, чтобы было нх^0я 8д,<0. '.ледовательно, построенное решение удовлетвориет всем необходимым
104
Оболочки при упруго-пластических деформациях
Переходя к рассмотрению приближенных методов определения несу- „ щей способности, примем, что все нагрузки, приложенные к оболочке, изменяются пропорционально одному параметру k, причем предельной нагрузке отвечает некоторое значение k = fe®. Тогда имеют место следующие теоремы:
I. Если при некотором k = k~ можно построить непрерывное (или с допустимыми разрывами) поле усилий н моментов, удовлетворяющее уравнениям равновесия и статическим краевым условиям, причем
всюду Ф (Na, Ма.........Я)< 1, то
k~ < feo.
П. Если при некотором k = k* можно построить непрерывное (или с допустимыми разрывами) и удовлетворяющее условиям закрепления поле скоростей, при которых мощность нагрузок равняется скорости пластической диссипации энергии в оболочке, то k+ ^ k°.
Эти теоремы имеют место для всех перечисленных формулировок конечного соотношения (12)—(16) при условии, что закон течения (17) берется в соответствии с выбранным конечным соотношением.
Поля усилий и моментов, удовлетворяющие условиям теоремы 1,. называют статически допустимыми, а поле скоростей, удовлетворяющее условиям теоремы II, — кинематически возможным.
Пластическую диссипацию энергии в оболочке вычисляют по формуле
D = J J (Л?о8ц + -f- MgY-a + -MpJtg +
Сз ** «0
X.0 X
Qo
Рнс. 5
+ Ту + 2Нт) ABdadP, (18);
где интеграл распространен по всей срединной поверхности оболочки, причем скорости деформации 8„.т вычисляют по выбранным кине-
матически возможным скоростям при помощи формул [гл. 20 т. 1, формулы (И)], а усилия н моменты Na, . . ., Н определяют по взятым еа, . . ., т при помощи соответствующего закона течения. Например, при использовании критерия текучести (12) выражение (18) принимает вид
D = JVr J1 [(е“ + ?«ер + Ёэ+_г *!) +
+ Tr«+v»+*» + ^]^“0“'1’ l'в¦,
Если поле кинематически возможных скоростей содержит лннин разрыва, то последние следует рассматривать как предельное положение узких зон резкого изменения соответствующих переменных н вычислять интеграл (18) в этих зонах путем соответствующего предельного перехода.
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 105
Например, в осесимметричной задаче при конечном соотношении (16) к правой части формул (18) следует добавить слагаемое
NT | ДЙ | 2пги
если меридианальная скорость имеет скачок | Аи | на параллельном круге г = rlt и слагаемое
МТ | Дф1 2лги
если разрывен угол поворота О.
Пример 3. Сферический колпачок, опертый по контуру и нагруженный равномерным внутренним давлением q (рис- 6).
Для получения нижией оценки предельной нагрузки необходимо построить распределение мернднанальных и окружных уснлнй н моментов пе = ЛГе/ЛГ т, "ф = Л'ф/Л'т. m6=Me/Mr, m(p = м ,р/л( г удовлетворяю-щее уравнениям равновесия
(f . . Л . sin8 Ф ph sin2 Ф
(па sin —nrr cos Ф -j----— na = • ----—
dft ' ® / Ф cos ft ^ 2R cos ft
—— (m* sin — m cos 0 — 4 —----------------------------------— rt„ =
d# ' * / <P A cos # »
краевому условию О при # =a, условию симметрии в вершине оболочки
и не противоречащее конечному соотношению, которое возьмем в форме зависимости (12).
Рис. 6
Заметим, что поверхность (12) является описанной около поверхности (13), поэтому для получения статически допустимого решения можно воспользоваться более простым условием (13), Это условие тождественно удовлетворяется. если положить
