Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Замкнутая сфернче-ческая под действием равномерного внутреннего давления р в н/м2 © Р-*»тТГ (точное решение при условиях текучести Мизеса или Треска)
Ф = I и пластические составляющие е?, . . ., тр отличны от нуля, непосредственно сопрягается с упругими областями, в которых Ф 1 и = ер ==••¦= 0. Это предположение действительно реализуется во многих случаях упруго-пластического деформирования идеализированных двухслойных оболочек. Особенно ощутимые упрощения достигаются в том случае, когда конечное соотношение аппроксимируется посредством кусочно-линейных поверхностей. При этом дифференциальные соотношения (17) для каждого из пластических режимов конечного соотношения могут быть проинтегрированы н окончательные результаты во многих случаях удается представить в замкнутом виде.
Пример 4. рассмотрим заново пример 2 (см. рис. 3), принимая во внимание упругие деформации. В начальной стадив нагружения поведение оболочки является упругим и определяется обычными уравнениями
dM, dQ„ N„.
110
Оболочки при упруго-пластических деформациях
Соответствующее упругое решение будеэ
“’ = — *2ЩГ e~Pxcospx; Мх = -^- е~ Р* sin Э*;
/V(J) = -2pRQoe-P^cospJr; Р*= '
Окружное усилие /V^ имеет максимальное аначеине Nф __ 20i?Q
в сеченин * = 0, поэтому пластическое состояние [определяемое условием (15)^1
<? NT е
возникнет в этом сеченин прн Q0 = Q0= ^ ; при Qq > Qq У края оболочки
развивается пластическая зона, для которой закон течения определяется зависимостями
> °: К = К
интегрируя последнее соотношение по времени, получим, что в пластической области остается в силе соотношение у,х = М х, к которому следует теперь присоединить условие пластичности N^ = NT- Результирующее решение для пластической области 0 < х < I, удовлетворяющее условиям на краю х = 0, имеет внд
NT
Мх~~ ®ох 2Н ¦*2#
Упругое решение для области / < х < «>, затухающее на бесконечности, будет
w = е Р & ^ [С8 cos 0 (х— /) *fC4 sin Э(х— /)]• (24)
Произвольные постоянные Си - С4 и длина пластической зоны I определяются из условий непрерывности w, ——, М r, Qr и Af на границе х =* I.
ах л л ц}
В частности, зависимость I от нагрузки будет
«0
* /~ N
Прн Q0 = Q0 = 1/ 2Л1г_S- изгибающий момент в сеченин х = 1 достигает значения МТ н возникает предельное состояние, изложенное на стр. 102, 103.
Прогиб w — Wq в сечен ни х = 0 определяется соотношением
-^- = 4-(1 + ? + 3?*); ? = -%; » =___________—¦ (25)
е Qq е 2Яр“
Очевидно, что параметр Q изменяется в интервале 1 < q < <?*, причем
Qq 4;_____________
q* =------= ¦/ 4 (1 — v8) . При v =х 0,5 для предельного состояния имеем
«о
q* = 1,315; ш0 » 2,Юше. Следовательно, предельное состояние возникает при относительно малых значениях прогибов.
Обзор исследований упруго-пластического и жестко-пластического равновесия н оболочек приведен в работе [8].
Приближенный учет упрочнения. Изложенный прием можно использовать с некоторыми изменениями для приближенного анализа оболочек, изготовленных из упруго-упрочняющегося материала. Как
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 111
и ранее, считаем, что при малых нагрузках оболочка упругая. Переходу в упруго-пластическую стадию соответствует нагрузка, при которой упругие усилия и моменты в наиболее напряженном сечении достигнут значений, удовлетворяющих конечному соотношению Ф (Na, N$, . . . ...,//)= 1 [причем функция Ф, играющая теперь роль функции нагружения, может быть взята в виде какого-либо из выражений (12)— (16)]. При дальнейшем нагружении возникает пластическая область, которая непосредственно граничит с упругой областью, причем граница определяется условием Ф = 1. Для пластической области остаются в силе выражения (21), причем пластические составляющие е?, е^,..., тр определяются при помощи зависимостей вида (17), с той разницей, что множитель пропорциональности i|) заменяется некоторым коэффициентом G = G (Ф) Ф, зависящим от функции нагружения Ф:
е« = 0(ф)'ЩГ®’ ^ = C(0)?® (26)
Функция G (Ф) выбирается в зависимости от вида кривой упрочнения. Уравнения (26), вообще говоря, нелинейны, однако могут быть линеаризированы, если принять для Ф одно из имеющихся кусочнолинейных представлений и рассматривать линейное упрочнение, при котором G — const = G0. В этом случае соотношения (26) можно также частично проинтегрировать по времени.
Изложенный прием детально разработан и применен для решения ряда задач в работах [13, 28, 33 и др.].
Проектирование оболочек минимального веса. В предыдущем изложении при анализе предельного равновесия жестко-пластических оболочек принималось, что постоянная (или переменная) толщина оболочки h задана. Теперь примем, что h является новой неизвестной функцией, и соответственно введем дополнительное соотношение, в качестве которого можно взять, например, условие минимума объема оболочки
J J* A (ct, Р) ABdadfi = min (27)
при заданной несущей способности. Срединная поверхность при этом считается фиксированной, поэтому разыскивается оптимальное распределение материала на заданной срединной поверхности.
Если материал оболочки однороден, то минимум объема обеспечивает также минимум веса. Условие минимума (27) можно заменить [36] дифференциальным соотношением
