Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Оболочки из упрочняющегося материала
Приведенные в гл. 20 т. 1 уравнения равновесия оболочки, а также соотношения между компонентами смещения и деформациями срединной поверхности и краевые условия [см. формулы (14), (30), (31)] не связаны со свойствами материала, поэтому в случае неупругой оболочки они остаются в силе без изменений. Если упрочнение материала описывается уравнениями деформационной теории (см. гл. 3 т. 1), то приведенные в гл. 20 т. 1 (формулы (38)] зависимости между усилиями Na, N$, Т, моментами Ма, Мр, Н и деформациями срединной поверхности (еа, ер, у, У.а, хр, т) заменяют следующими [1, 19]:
-j- Л'ц = ^ ча -|—— J1 -f- Н—g- J2;
~4~^р = + А ++ Ха^*;
ЗГ = уЛ + 2т/2;
-f- -g- ер^ ^2+^ХсН—2”кр) ^3’’
~4~ Щ = ^ ев + -g- ®а) ~2~
3// = у J, + 2т J3
1 ('Г , т Ailia)
2~ \ 6 ва ЩГ~ R^)>
Н — ~2~ (Muft +
4 Справочник, т. 2
где (рис. 1)
Т =
98
Оболочки при упруго-пластических деформациях
ft/2
Ji — [ — dz\ J2— [ — г dz; J J 6f
—ft/2 —ft/2
ft/2
^3= [ — z2 dz,
J 8»
(231
—ft/2
причем
8i = y= /Ре + 2гРЕИ + г2Ри ;
Р8 = еа + еаеВ + 6В + -Г V2;
Зх = + *0*в + кр +
(3)
(4)
РеИ = еаха + евхр + еах6 + ерха + ут.
>
Зависимости (1), (2) справедливы при тех же предположениях,-что и соответствующие упругие уравнения; кроме того, должны* соблюдаться условия, при которых применима деформационная теория»
пластичности (см. гл. 3 т. 1). Пр» напряжениях ниже предела теку-
чести (о,-^ат, в^еТ) имеем — =
е?
= 3G и зависимости (1), (2) переходят в общие упругие уравнения гл. ‘20 т. 1 [формулы (38)]; сечение оболочки будет упруго-пластическим, если на части ее толщины е,->ет, и чисто пластическим, если
_ h Л
е; ет всюду при —g-sczc — .
Для расчета упруго-пластической оболочки предложен ряд методов, которые можно разделить на две группы: а) «точные» (численные) методы, позволяющие, в принципе, при достаточной затрате труда получать (фактически точное решение полной нелинейной системы уравнений статики упруго-пластической оболочки (см. выше); б) приближенные методы, основанные на замене полных определяющих уравнений (1) некоторой аппроксимирующей системой более простых уравнений. Решение при этом существенно упрощается и часто может быть получено в замкнутом виде, однако этот подход вносит неустранимую погрешность, которая, по-видимому, в большинстве случаев оказывается незначительной.
К первой группе можно отнести приведенные далее методы 1—III, -ко второй группе — методы IV и V.
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 99
I. Метод переменных параметров упругости [I]. За первое приближение принимают упругое решение (при G = = const), пользуясь которым, вычисляют е}1), aj1* = о; и находят соответствующие значения j[l\ J^l\ по формулам (2). Подстановка этих значений J в соотношения (1) приводит к новой линейной задаче для некоторой неоднородной оболочки. Ее решение определяет второе приближение и т. д.
Расчет заканчивают при совпадении двух последовательных приближений.
II. Метод упругих решений (метод дополнительных нагрузок) [1, 4]. Выделив упругую часть в зависимости о,- = а; (е,-), представим ее в виде
a, = 30s, [1 — <о (е;)], (5)
где функция to (е() отлична от нуля только в пластических зонах, отделенных от упругих областей поверхностями ej = ет. Подставляя выражение (5) в формулы (2), можно соответственно выделить упругую часть в определяющих зависимостях (1)
Na = 3Gh (ea + -i- вр)+~§- ЛЛ^ и т. д., (б)
где
—— ANa = ^еа+ -g- Д/i -f- + -g- AJZ; (7)
AJj = — 3G J to (e,-) dz;
Д/2 = — 3G | to (s/) z dz. (8)
При ANa = —= AN = О получаем упругую задачу, определяющую первое приближение. Подставив соответствующие значения деформаций в формулы (7) и (8), вычисляем AN^K . . Aff^K Для получения второго приближения необходимо решить линейную задачу при определяющих уравнениях (6), содержащих (известные) добавочные члены АЛ^ц1*. • • •,
При решении в перемещениях эта задача приводится к обычной упругой задаче теории оболочек с дополнительными распределенными и краевыми нагрузками. Аналогично разыскивают последующие приближения.
III. Вариационный метод. Действительное деформированное состояние оболочки характеризуется условием минимума
П — JJJ [Jai&i] ABdadfi dt — Ае = min, (9)
где s(- определяют по формуле (3), Ае — работа внешних нагрузок; А, В — коэффициенты Ляме. Решение вариационного уравнения (9) можно искать, например, при помощи метода Ритца или метода Л. М. Качанова (см. гл. 3 т. 1).
100 Оболочки при упруго-пластических деформациях
IV. Эквивалентная двухслойная оболочк [14]. Этот подход основан на замене действительной оболочки тол* щины А идеализированной двухслойной моделью, состоящей из дву» одинаковых тонких несущих слоев толщиной Ь, расстояние межд_ которыми Z поддерживается неизменным. Параметры Ь и Z выбирают н_ условия эквивалентности действительной и двухслойной оболочек при одноосном растяжении и изгибе. Принимая, что напряжения распределяются равномерно по толщине каждого из несущих слоев и пользуясь
гипотезой прямых нормалей = еа±-|- Zxa; = еg ±-^- ZXg,
