Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения упругости
Е / du и \ , Ег ( с№ & \
[ЧГ + v Т) + T=V*(~dT + v ~)'
?(1 + у)
а°<о —1 _ V2 (а< — «(/о);
Е ( и du\ Ег / Ь t d$ \
a‘*-T^vA~ + v ~dFJ + T^(~r + v~dF)~
Е( I + v) ?(1 + v)
«Л------i_^a (а/ — ««<•)¦
1 — v*
(4)
В этих уравнениях Е, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона (последний предполагаем постоянным по толщине пластиики); •x.t — температурная деформация в данной точке пластиики.
Среднюю температурную деформацию a0t0 выбирают из соотношения
в.
Г Eat dz
CLgto =
-в,
(5)
Ейг
-в,
Радиальные и окружные усилия и моменты, отнесенные к единице донны сечения основной поверхности (рис. 2):
Nr-
U2
J ordz; Nq= J оф dr,
-в,
6
-в.
(6)
Mr = — I огг йг; Мф = — I о^г dz.
-в, -4
Уравнения равновесия для элемента пластиики (рис. 2) d (Wrr) ., , .
—^ ~ "I" "Ь 9гГ = 0;
¦ Mq, — Qr — 0.
(7)
(8) (9)
В уравнении (7) влиянием перерезывающей силы Q пренебрегаем.
Изотропные круглые пластинки переменной толщины
123
Дифференциальные уравнения растяжения и изгиба диска. Из уравнений (7), (9) с учетом выражений (4) и (6) могут быть получены следующие дифференциальные уравнения:
\rAu' + vAu] — vAu' — А и = —qrr + (Ю)
[rDQ' -(- v?H)] — vDi}' — D Ф — ©о (rAu 4- vAu) —
dS
— j" qzr dr -\- r -----r^aT— a (Qa -|- ©0a^ra)- (11)
Здесь A, D—цилиндрические жесткие пластинки на растяжение и ьзгиб соответственно
-6.
Т, S — упруго-температуриые величины.
в2
-6,
,= «0<0_ f Ed S==_L_ f
1 — V J 1 — V J
Eatz dz
(12)
(13)
-в.
-6.
Из уравнений (10) и (11) следует, что при выборе основной поверхности в соответствии с выражением (1) задача о растяжении пластинки
может быть решена независимо от задачи изгиба. Определение напряжений растяжения в круглой пластинке переменной толщины изложено в гл. 17 т. 1. Уравнение (11) описывает нзгиб пластинки с учетом усилий в основной поверхности N, и Л^, которые становятся известными после решения задачи о растяжении пластинки.
124
Круглые пластинки и оболочки вращения
Интегральные уравнения изгиба диска с учетом влиянии сил в основной поверхности. Для расчета удобно использовать интегральное /равнение изгиба, которое получается после некоторых преобразов;: лий из уравнений равновесия и деформаций:
Mr — LMr -j- Qa Ь Wrap's Ч" Fq Ч"
В уравнении (14) интегральный оператор
(14
LMr-
D(1 — va)
+ Jr]J
(15
функции при начальных параметрах Ьа и Мга и функции, зависящие о нагрузки и температуры, имеют следующий вид:
F. - - f + тг] ^+°Л'“^1 F'~,:
а а
г
- f I>ilW
-Sdr,
(16
где
Q* = ~~ aQa J-J qzr dr — Nrb„ + Neaboa —f
a
D( 1-v2) (f 1
Wt =
П
D xSdr Г D ' l + v S
Перерезывающая сила в сечении
Q = Q*~Nre + NraQa-?r.
Решение уравнения (14)
Мг = Ф^а + ФаМ,а + Фч + Фь
(1Т
(18
(19
Изотропные круглые пластинки переменной толщины_________125
де Ф1г Ф2 — фундаментальные функции при начальных параметрах, 1 частные решения Фч и Ф* могут быть определены методом последо-ательиых приближений [2].
Положив в выражениях (15)—(18) Nr = 0, получаем решение юычной задачи изгиба пластиики без учета влияния сил в основной юверхности.
Определение момента М9. Если величина Мг (уравнение (19)) :звестна, то момент Мф определяют из равенства
(20)
Параметры деформации находят из формул
-гмтЬч W-^ + s
— 0(1 — v1) <Л1« “ vMr) + (Г+vjD s*
(21)
(22)
Краевые условия, часто встречающиеся при расчете круглых пла-тинок переменной толщины, показаны в табл. 1.
I. Краевые условия при расчете на изгиб круглой пластинки
Условия закрепления
Краевые условия, значения начальных па ра мет ров
Жесткая заделка
«а = 0; Мг(Ь)=МгЬ;
Упругая заделка
М
Оа = Ш 1
га’
ХФ, (Ь)+Фг(Ь) 1МгЬ -Фд (6) -Ф( (Ь)];
К — коэффициент податливости упругой заделки
I
= Ф7(F) УМ'Ь - Фд V» - Ф/ -
- мга Ф2 (6)1
На малом радиусе а (а ~ 0,16) Mra = Mq>a;
Du(l+ve) ‘ га < (l+va)D0 . Мг (Ь) =
126
Круглые пластинки и оболочки вращения
Напряжения растяжения и изгиба в пластинке
a'=iS^{-TN'-*-srM' +
+ (1 + v) («о^о — ctf) -f- г -g- s) •
°ч> = i __ va i~A — 2 “о" +
+ (1 + v) (a0<o — + z-Q- sj i
или в развернутой форме
- l>,
1
а, — Е
Nr
Mr
Е dz
-6.
i Еггйг -hi С,
J Еаг dz
1 —v
Eatdz
-6
вг
С Е dz -в,
+
• at
I* ?z2 dz -в,
оф = Е
Na
Ма
в,
S Ейг
-в,
(* Ez2dz -С,
1 —v
?а<г dz
-6.
?<*г
-в,
Ч- г
X Eazdz
в,
] Ez2dz
-в,
а<
(23а
В этих равенствах вторые группы членов выражают температурные напряжения вследствие неравномерного нагрева по толщине пластиик..
Расчет в упруго-пластической области проводят методом последовательных приближений. В первом приближении находят напряжеии*
Конструктивно-ортотропные круглые пластинки 127
и деформации в упругой области (решение уравнения (15) J, определяют в каждом сечении значения интенсивности напряжения (при этом сечение разбивают на ряд точек)
а; = у ~ °г%
и интенсивности деформаций
*
* ® i
ei =~]Г
(24)
(25)
(коэффициент Пуассоиа обычно принимают v = 0,5). Далее по кривой деформирования (рис. 3) находят значение интенсивности напряжений о., соответствующее деформации е’, и вычисляют значения секущего
