Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Деформацией среднего слоя в направлении нормали пренебрегают, и прогибы слоев
Wy = w2 = wc = w. (34)
Углы поворота нормалей к срединным поверхностям несущих слоев
= 0. (35)
В соответствии с принятыми гипотезами радиальные перемещения ис = ui + + Y
= Uy -j- О/i -j- yhCt
где ых = ux (Г) — радиальное перемещение срединной поверхности несущего слоя; гх — координата, отсчитываемая от этой поверхности в направлении оси пластинки; 7=7 (г) —угол сдвига в меридиональном сечении среднего слоя пластинки; И = И (г) — расстояние между срединными поверхностями несущих слоев; hc=hc(r)—толщина срединного слоя; hi — hi (г) — толщина первого несущего слоя.
Деформации слоев в радиальном и окружном направлениях: для несущих слоев
йщ d'&i Bri = ~Г. I—зг" г1¦
(36)
dr
=
(t = 1, 2);
^ dr
+ --гг
для срединного слоя
duc
dr
r'(JT ¦
(37)
(38)
Уравнения упругости:
для несущих слоев
? , , ч ?(l+vj) .
он =---------гг (eri + ------, г atti’
1-vf
В Е (1 -f- Vi) .
-----2 (еФ* -Ь view)--------------; 5
1—V
1—vf
(* = 1, 2);
(39)
132
Круглые пластинки и оболочки вращения
для среднего ортотропного слоя
Ег
®ГС-------i——“ “--- “Ь ^Гф
Ег
1
Ег
1 — VffpVtyr Еу
а<рс 1 — v^vq,,
CLrJc — V
1
Е,
rq>
ЕЧус
+ V
1 — VftyVtyr
Efp
1 — V/4pV<pr
• Bffc —
Ctfpctf
1 ~ VripVtyr
СЦр c^c — ^'фг '
т ¦= Gcy,
1 ---Vr(fV<fr
’ &rc'~~
O-rdc,
(40
где Er, Etp — модули упругости no направлениям гиф соответственно Gc — модуль сдвига среднего слоя в меридиональной плоскости; v<pr — коэффициенты Пуассона (первый индекс показывает направление деформации, второй — направление действия усилий).
Основные дифференциальные уравнения, соответствующие приня той схеме деформации, можно получить из вариационного уравнени: Лагранжа
ЬП = 0, (41
где ЬП — вариация полной потенциальной энергии П пластинки
равной сумме потенциальных энергий деформации слоев Рг, Р?,
и потенциала внешних усилий А, включающих распределенную поперечную нагрузку, центробежные усилия и нагрузки на внешни:, контурах
Я= Рг+ Рг+ Рс+ А. (42
Величины Pv Р,
Pi
2, Рс определяют по формулам b hiP
¦J I:
a —fy/2
2nraidzidr (i—¦ 1, 2);
bnc
Pc = J J 2nrac dzc dr,
a 0
где удельные энергии деформации слоев
о; = -g- (EriOri + ?<pj0<p()i
<*с — ~2 (BrcOrc ~l“ ВфС0(])с) + ^cY2*
(43
(44
(45
Полная потенциальная энергия системы с учетом формул (43)—(45 представляет собой функционал
ь
Т,
а
У7 = |ел--
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 133
где Т — потенциал краевых усилий; в — функция независимых перемещений, выбранных за основные неизвестные.
За основные неизвестные могут быть выбраны величины иг, # и у. Уравнения Эйлера для функционала П образуют систему разрешающих дифференциальных уравнений
где Q (л) — распределенные по окружности перерезывающие усилия в цилиндрическом сечении иа радиусе г.
В развернутом виде уравнения приведены в работе [4].
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Основные уравнения. При расчете используют гипотезу Кирхгофа—Лява о жесткой нормали [3, 6].
В соответствии с этой гипотезой рассматриваем основную поверхность. которая для обычной изотропной оболочки совпадет со средин-
ной. Элемент основной поверхности и его радиусы кривизны показаны на рис. 6.
Основную поверхность выбирают из условия в,
j Ег dz = 0, (46)
где Е — модуль упругости; 6Х, 6S — расстояния от срединной поверхности до наружных поверхностей оболочки.
134
Круглые пластинки и оболочки вращения
Деформации оболочки в основной поверхности вдоль дуги меридиана и в окружном направлении
du
(0) _ ии_ _ w_ .
8 ds '
= (ы ctg 0 — ш) ,
(47)
где и — перемещение точки основной поверхности по касательной к меридиональной кривой; w — перемещение по нормали (положительное направление соответствует перемещению к оси оболочки).
Угол поворота нормали (в сторону увеличения угла 6)
и dw
Rx
ds
(48)
Деформации в слое, отстоящем иа расстоянии г в сторону внешней нормали,
du w . db
е( = —г------я—I- г ¦
ds
ds ’
еф = (ы ctg 0 — ш) ——|- г ctg 6
К 2
Условия равновесия элемента оболочки г
^§р- + Nt-g-+ Nv sin Q — q„r = 0;
d(Nbr)
ds
¦ N<p cos 0 — Q -g- + <?er = 0;
d (M8r) ds
¦ Mv cos 0 — Qr — 0.
(49)
(50)
(51)
(52)
Расчет оболочек при упруго-пластических деформациях 135
Силовые факторы (на единицу длины сечения оболочки) и внешние распределенные нагрузки показаны на рис. 7.
Уравнення упругости оболочки
°в :
____—— Г
1 — v* L
du
d s
R i
(и ctg 0 — w) +
(53)
+ z("3T + vdge^)]~T^ra';
°* = T^[^(uctg6-w) + 4^ “¦iг) +
+г(^ctge+v^)]-т4va<I
где a,, av — напряжения в слое, отстоящем на расстоянии г от основной поверхности; v — коэффициент Пуассона; at — температурная деформация.
Интегрируя соотношения (53) по толщине оболочки, считая v = = const, получим следующие равенства для силовых факторов:
".-тМтг--^ + Ж(“с,8в—1']
',--r^r[-i-(nct8e-®) + »(
/ du w \1
ds Ri )\
"•“-°[-3r+vc,«e^-] + r«: '*---°[ct6e-^- + vs] +Т“
М,
где А — жесткость на растяжение;
в,
А = J Е dz;
-в,
D — цилиндрическая жесткость на изгиб
