Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
50
Оболочки под действием локальных нагрузок
СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ И РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПО ЛИНИИ НАГРУЗКИ
Когда площадка нагружения s (или ее ширина с) мала, естественно заменить распределенную по этой площадке нагрузку сосредоточенной (или распределенной по линии) нагрузкой. Такая замена целесообразна потому, что решение задачи о действии на оболочку сосредоточенной (или распределенной по линин) нагрузки проще, чем решение задачи
о действии на оболочку локальной нагрузки, распределенной по площадке с конечными размерами. Под перемещением, усилием и внутренним моментом при действии сосредоточенной (или распределенной по линии) нагрузки понимают пределы этих величин, когда площадка s О, стягиваясь в точку т0 (или, когда ширина площадки с -> 0, а сама площадка s стягивается в отрезок линии I).
В зависимости от вида локальной нагрузки (распределенной по площадке с конечными размерами) перемещения, усилия и моменты разбивают на два рода величин: величины, которые остаются ограниченными при замене дайной локальной нагрузки соответствующей сосредоточенной нагрузкой, и величины, которые становятся неограниченными при этой замене.
Например, когда действующую на оболочку нормальную локальную нагрузку заменяют нормальной сосредоточенной в точке т0 силой, то нормальное перемещение w остается всюду ограниченной величиной, а изгибающие моменты Mv М2 в окрестности точки /тг0 становятся неограниченными величинами.
Поскольку при достаточно малом s (или с) значения величин первого рода (ограниченных при s или с -> 0) в каждой точке оболочки мало отличаются от их предельных значений, то приближенно такие величины можно непосредственно вычислять, считая фактическую локальную нагрузку сосредоточенной (или распределенной по линии).
Оценка наибольших (по модулю) значений величин второго рода (неограниченных при s илн с-> 0) с помощью замены фактической локальной нагрузки сосредоточенной (илн распределенной по линии) производится искусственным способом (см. стр. 57—59) с использованием асимптотических формул и связана с некоторыми ограничениями.
Асимптотические равенства. Две величины / (т), <р (т), являющиеся функциями точки т, называют асимптотически равными при т ->¦ тп (или в окрестности точки т0). если
т->т9 ф (^)
Асимптотическое равенство1 величин f (т) и «р (т) записывают так *:
/ (ш) ~ Ф (т).
Для перемещений, усилий и моментов, которые неограиичены при сосредоточенной нагрузке, приложенной в точке т0 (или при нагрузке, распределенной вдоль отрезка линии /), получаются простые асимптотические формулы (равенства) н окрестности этой точки (или в окрестностях концевых точек отрезка /).
1 В главе для обозначения асимтгоического равенства использован знаке:.
Сосредоточенные и распределенные по линии нагрузки 51
Они могут быть использованы для оценки местных напряжений, вызываемых реальной локальной нагрузкой.
Замена реальной локальной нагрузки сосредоточенной или распределенной по линии. Для того чтобы указать, как можно в некоторых случаях оценить наибольшие значения усилий, моментов илн перемещений при локальной нагрузке (распределенной по площадке с конечными размерами), когда эту нагрузку заменяют сосредоточенной, обратимся к «эталонной» задаче об изгибе круглой пластинкн.
Пусть на круглую пластинку с радиусом R и со свободно опертым краем действует нормальная (к плоскости пластины) сила Q, распределенная по центральному кругу s с радиусом г„ (рис. 2). Наибольшее значение М внутреннего изгибающего момента достигается в центре нагруженного участка (в центре пластинкн) и (см. работу [7])
4л Lv ^ ' г0
^ 4R2 J’
где v — коэффициент Пуассона.
При г о —> О
M^-^-(l + v)ln —, (1)
4л г0 '
так, что при достаточно малом г0 наибольшее значение внутреннего момента можно приближенно определить из приведенного асимптотического равенства.
Пусть теперь на ту же самую пластинку действует сосредоточенная нормальная сила Q, приложенная в центре. В этом случае для внутренних моментов Мг, Мц (действующих в сечениях г = const, ф = const; г, <р — полярные координаты) справедливы формулы [7 ]
^ = -|г( 1+V) 'п-7-;
M4> = -|r(1 + v) 'n-r+!-v.
Из этих формул прн г = г0 -> 0 получаем, что при сосредоточенной силе Q на расстоянии г0 от ее точки приложения
Мг Мф ~ (1 + v) In (2)
что совпадает с формулой (1).
Следовательно, наибольшее значение изгибающего момента при действии на круглую пластинку локальной нормальной нагрузки Q, распределенной по малому центральному кругу s, приближенно равно значению изгибающего момента на границе нагруженного участка s, когда нагрузка Q заменена такой же по величине сосредоточенной в центре участка s силой.
Аналогичный результат справедлив для цилиндрической оболочки при действии на нее локальной нормальной нагрузки, и его можно
52
Оболочки под действием локальных нагрузок
принять для оболочки произвольной формы. Эго приводит к следующему положению: если нагруженная площадка s достаточно мала, то распределенную по ней нормальную нагрузку можно рассматривать как сосредоточенную, а наибольшие значения изгибающих моментов Ми М2 можно оценить, определяя их значения на границе s.
