Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
на единицу площади поверхности можно записать
в виде
Яг=ео{(7е + 0)*-Ге}, (5.5.7)
где е — степень черноты; а — постоянная Стефана; Те—¦ абсолютная равновесная температура, при которой не происходит потерь на излучение. Пр и этом нелинейное граничное условие будет
Нт = Нп, (5.5.8)
где п — единичная нормаль на границе, а Н — тепловое смещение на границе твердого тела.
П7
Для достаточно малых значений избыточной температуры уравнение (5.5.7) можно линеаризовать в виде
Яг = /Сб, (5.5.9)
где
/С=4 встРе (5.5.10)
играет роль коэффициента теплообмена, не зависящего от температуры, как указано в § 2.2.
В некоторых задачах, связанных с нелинейным излучением, иногда целесообразно использовать граничное условие для температурного поля. Например, для изотропной теплопроводности приближенное температурное поле выбирается таким, чтобы оно удовлетворяло граничному условию
k gradnB + ECTKT^+B)4—7\} = 0. (5.5.11)
Это иллюстрируется в статье П. Рафальского и В. Зы-
сковского [Л. 5-5]. Они предлагают провести усреднение уравнения (5.5.11) на границе, при этом на неизвестные <7г налагается голономная связь,
5.6. НАГРЕВАНИЕ И ОХЛАЖДЕНИЕ СТЕНКИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ СВОЙСТВАМИ
В качестве иллюстрации рассмотрим очень простую нелинейную задачу. Возьмем полубесконечное тело, занимающее область х>0. Поверхность х=0 мгновенно принимает температуру 0 = 0О в момент t=0 (рис. 5.2). Будем считать теплоемкость линейной функцией температуры
с(в)=с,(1 + -?-). (5.6.1)
Теплопроводность k считается постоянной [Л. 5-1]. Однако это допущение не ограничивает общности примера, поскольку, как показано в § 5.4, случай теплопроводности, зависящей от температуры, легко приводится к случаю с постоянной теплопроводностью. Температурное распределение в твердом теле аппроксимируется выражением
0==0o(l--f-)2. (5.6.2)
118
где глубина проникновения q играет роль обобщенной координаты. Для анализа задачи удобно рассмотреть цилиндрический объем, параллельный оси х, с единичным основанием. Уравнение теплосодержания (5.2.1) примет вид:
h =
о
а величина F и тепловой потенциал (5.2.4) будут
F=jcB йв = ^-с0в2+^-с0~;
О
я
V = ^Fdx=^c0b\q. (5.6.4)
о
Тогда тепловое смещение находится из соотношения
Положив
H=[hdx. (5.6.5)
5=1-^-. (5.6.6)
получим:
//=(-гсз+то v)c&q- (5-6-7)
Диссипативная функция будет: я
D = ^E^H2dx=Q-^c\b\qq\ (5.6.8)
о
а виртуальная работа термодинамической силы
Q8q = Q06H, (5.6.9)
где бН — вариация Н при х = 0, откуда
Q = 4rc“03“- (5-6Л°)
Уравнение Лагранжа будет:
dV , dD
Подставив значения V, D и Q из уравнений (5.6.4),
(5.6.8) и (5.6.10) в (5.6.11), получим:
0,0648^ =-f-
/ to
(5.6.12)
Интегрируя это уравнение с начальным условием <7 = 0 в момент ^ = 0, находим:
«=2-97]/ (?)• <5-613>
Мы можем сравнить этот результат с величиной
(5.6.14)
» = 3,36j/ (i),
определенной из уравнения (1.7.10) для линейной системы с постоянными k и с, положив
с= 1,28 с0.
(5.6.15)
Следовательно, при аппроксимации нелинейного случая с принимается постоянной и равной 1,28 Со- Следует отметить, что это значение лежит в интервале от 1,5 Со до с о, соответствующей минимальной температуре.
Задача об охлаждении полупространства такого же материала (рис. 5.2) от температуры 6=0о до 0=0 рассматривается в работе [[Л. 5-1]. Нелинейные задачи об охлаждении и нагревании неэквивалентны. Установлено, что глубина проникновения совпадает с q для среды, имеющей с — 1,74с0. Следовательно, в рассмотренном случае постоянное эффективное значение с находится между средним значением 1,5с0 и 2с0, соответствующим максимальной температуре.
Рис. 5.2. Охлаждение и нагревание стенки с нелинейными теплофизическими свойствами.
120
Глава шестая
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
6.1. ВВЕДЕНИЕ
В данной главе вариационные принципы и уравнения Лагранжа обобщаются на случай конвективного теплообмена. Рассмотрим два различных подхода. В первом мы будем решать задачу теплопроводности в твердом теле, границы которого соприкасаются с движущейся жидкостью. Конвективный теплообмен на границе учитывается с помощью «функции влияния». Эта функция учитывает конвективные свойства жидкости, которые можно включить в граничное условие. Благодаря этому конвекция и теплопроводность в твердом теле рассматриваются раздельно. Течение может быть ламинарным и турбулентным. Расчет функции влияния проведен в гл. 7. Такое разделение имеет некоторые преимущества, поскольку физические свойства теплопроводности и конвекции совершенно различны, и обычно эти явления неудобно анализировать одновременно.
Другой подход заключается в выводе унифицированных уравнений, применимых к сложным системам, включающим и твердое тело и движущуюся жидкость. Такой унифицированный подход может применяться в ряде специальных случаев, таких как теплообмен в пористом твердом теле при фильтрации жидкости.
Функция влияния описывается в § 6.2. Она по существу представляет температурное возмущение на границе раздела «твердое тело — жидкость», вызванное поступлением тепла в движущуюся жидкость в данной точке границы раздела. Она может определяться как двумерная и одномерная. В § 6.3 рассматриваются дополнительные члены в уравнениях Лагранжа, учитывающие конвективный теплообмен на границе с помощью функции влияния.
