Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Физический смысл граничного условия (6.4.21) станет ясным, если записать
r(P, Р', t)=r(P\ Р, t). (6.4.22)
Тогда уравнение (6.4.21) примет вид:
<|»(Р, 0 = f0'n(P', t)7(P, Р', t) dApl. (6.4.23)
А
Сравнивая это уравнение с уравнением (6.2.8), увидим, что \])(Л t) описывает возрастание температуры на границе в случае движущейся жидкости с функцией влияния r(P, Р', t). Кроме того, уравнение (6.4.20) управляет температурой в объеме тела с распределенными, не зависящими от времени стоками тепла с мощностью с0. Следовательно, мы получили для сопряженных полей аналоговую модель, сходную с моделью, описанной в § 4.4. Различие между ними заключается в граничном условии. Поле 0' является плотностью теплового потока, возникающего при наличии стоков тепла при граничном условии, задаваемом функцией влияния
(6.4.22). Следует отметить, что эта аналоговая модель представляет мгновенно замороженное стационарное условие в данный момент t.
Физический смысл аналоговой модели станет яснее, если заметить, что во многих случаях, как будет показано ниже, функция r(P, Р', t), входящая в граничное условие (6.4.23), является функцией влияния, соответствующей случаю конвективного теплообмена, полученного при обращении поля скоростей жидкости.
Вариационный принцип и сопряженные поля. Для теплообмена при отсутствии конвекции сопряженное поле 0' можно получить из температуры, минимизируя диссипацию, как показано в § 4.4. Аналогичный вариационный принцип применим в случае конвективного теп-
132
лообмена. Он получается, если приравнять нулю вариацию
-F0'2dT+fp(P'- P)Q,n(P,)^’n(P)dApdAp,= 0
•t A A
(6.4.24)
при условии
div©' =—c0. (6.4.25)
Сюда не входит в явном виде переменная /, поскольку поля соответствуют мгновенным значениям в данный момент времени. Поле 0 задается, а вариации 60' должны удовлетворять условию (6.4.25). Это можно показать, используя методику, описанную в § 4.4.
Как будет показано ниже, функция r(P', Р) связана с функцией влияния r(P, Р') смежной системы, полученной при обращении поля скорости жидкости.
Теорема об обратном течении. Рассмотрим стационарное течение однородной изотропной несжимаемой жидкости. Температурное поле удовлетворяет уравнению
div (сА grad 0) =cu grad 0. (6.4.25а)
Течение, имеющее скорость и, может быть ламинарным или турбулентным, а значение А запишется в виде
A=-j- + ff, (6.4.256)
где & —коэффициент изотропной турбулентной диффузии. Он может зависеть от координат, тогда как с и J постоянны. Температура 0 в той же жидкости после обращения поля скорости при том же значении коэффициента турбулентной диффузии & описывается уравнением
div (сА grad 0) = — cu grad 0. (6.4.25в)
Если учесть условие несжимаемости
div u=0, (6.4.25г)
то из уравнений (6.4.25а) и (6.4.'25в) получим соотношение
div (сА% grad 0 — сАв grad 0 — с0 0 и) = 0. (6.4.25д)
Проинтегрируем это выражение по объему жидкости, ограниченному поверхностью жидкости S и границей твердого тела W. Объемный интеграл можно преобразовать в поверхностный с границей S+W\ Если считать, что температурное поле 0 равно нулю на большом расстоянии, поверхностный интеграл по S равен нулю. Тогда интегрирование сводится к интегрированию по поверхности твердого
133
тела. Если принять во внимание условие, что нормальная составляющая скорости жидкости и на стенке равна нулю, получим:
jj (с АН gradn 0 — с AS gradn 9) dW ~ 0. (6.4.25e)
w
Теперь будем считать, что температурное поле 0 образуется в результате поступления потока тепла с единичной скоростью в жидкость в тачке Р' на стенке. Запишем:
сА grad„ 9 = -н&(Л Р'), (6.4.25ж)
где 8(Р, Р')—функция Дирака. Поверхностная температура в точке Р поверхности представляет соответствующую функцию влияния
в=г(Р,Р'). (6.4.25з)
Аналогично можно вы'брать 0 для представления функции влияния в результате притока тепла в точке Р" при обращенном течении жидкости. Следовательно,
сА gradnF= — 8 (Р, Р"); ?=^}(Р,Р"). (6.4.25и)
Подставив значения (6.4.25ж), (6.4.25з) и (6.4.25и) в уравнение поверхностного интеграла (6.4.25е), получим:
11 {7(Р, Р") 3 (Р, Р') — г (Р, Р1) 8 (Р, Р")} d.Wp = 0, (6.4.25к)
w
откуда
ЦР\ P")=r(Р", Р'). (6.4.25л)
Это уравнение показывает, что функция влияния для обращенного течения получается, если поменять местами точки в функции влияния для необращенного течения.
6.5. УНИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ «ТВЕРДОЕ ТЕЛО—ЖИДКОСТЬ» ПРИ НАЛИЧИИ КОНВЕКЦИИ
В предыдущих параграфах было показано, как можно сформулировать задачу теплопроводности в твердом теле, соприкасающемся с жидкостью, с помощью уравнений Лагранжа. Здесь попытаемся получить еще более общий метод вывода унифицированных уравнений Лагранжа для теплопроводности и конвекции в сложной системе, состоящей из твердого тела и движущейся жидкости.
Будем считать жидкость несжимаемой. Практически это означает, что сжимаемостью можно прнебречь. Однако жидкости могут иметь в общем случае и иные свойства, включая случаи неоднородности.
134
Первый этап обобщения уравнений Лагранжа на случай теплопроводности в движущейся жидкости описан в работе Нигама и Аграваля J7L 6-3], а также в статье [Л. 6-1]. Более общий метод, описываемый здесь, разработан в работе [Л. 6-4].
