Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
СИСТЕМ
Понятие циклических координат можно распространить на нелинейные системы. Рассмотрим среду с теплоемкостью, зависящей от температуры, и предположим, что тензор теплопроводности и коэффициент теплообмена не зависят от температуры. Запишем тепловое смещение (4.2.1) в виде
+2^^' (5.4.1)
Ш
Диссипативную функцию, которая в этом случае является квадратичной формой с постоянными коэффициентами, можно записать в виде
ij il Im
D—~2~ ^ J] il“J!
(5.4.2)
что эквивалентно уравнению (4.2.8), причем суммирование по i и / проводится от 1 до -v, а / и т принимают значения от 1 до k. Как в главе 4, мы будем считать, что k координат fi не входят в тепловой потенциал V. Уравнения Лагранжа делятся на две группы
(5.4.3)
1 dqt г dft v '
Уравнения первой группы, содержащие V, являются нелинейными, поскольку теплоемкость зависит от температуры. Однако координаты qi и <fi можно разделить с помощью преобразования, применяемого для линейной системы. Это преобразование задается уравнением
(4.2.11) и включает только диссипативную функцию
(5.4.2), одинаковую как для линейного, так и для нелинейного случаев. Следовательно, f'i также являются циклическими координатами в нелинейной задаче, в которой теплопроводность не зависит от температуры.
Как и в линейном случае, в процессе разделения вводится сопряженное поле как векторное поле, определяемое заданным температурным полем.
Метод получения сопряженного поля из принципа минимальной диссипации может применяться также и для нелинейной системы и описывается в § 4.3.
Наконец, аналоговая модель сопряженных полей, использующая распределенные тепловые стоки, описана в § 4.4 и может применяться для нелинейного случая с тем отличием от линейного, что вместо уравнения
(4.4.6) используется уравнение
/i = div grad ij:), (5.4.4)
где h — энтальпия, определяемая уравнением (5.2.1). С помощью доказательства, аналогичного проведенному в гл. 4, можно показать, что поле, сопряженное с температурным распределением 0, является скоростью
112
Поля теплового потока в стационарном состоянии ? распределенными стоками тепла, имеющими величину
в
— w = h = j с (0) db. (5.4.5)
о
Граничные условия остаются такими же, как и для линейной системы.
Теплопроводность, зависящая от температуры. Метод сопряженных полей можно обобщить на случай теплопроводности, зависящей от температуры, с помощью хорошо известного преобразования уравнения теплопроводности. Сначала рассмотрим случай изотропной теплопроводности. Температура описывается уравнением
div (k grad 0) = с (5.4.6)
Теплопроводность i&(0) и удельная объемная теплоемкость с(0) считаются функциями температуры. Для упрощения запишем вместо с(х, у, z, 0) с(0) и будем считать, что теплоемкость может также зависеть от координат в явном виде. Введем переменную
е
„(9) = j'J?Ld0. (5.4.7)
о
Обозначим теплопроводность при заданной исходной температуре, например, когда 0 = 0, через kQ. Тогда
ko=k(0). (5.4.8)
Поэтому преобразование (5.4.7) дает изменение температурной шкалы. С учетом соотношений
k0 gradu = k grad 0; (5.4.9)
уравнение (5.4.6) принимает вид:
?0 div (grad u) = c-^--^-. (5.4.10)
Оно описывает температуру и в среде с постоянной
теплопроводностью kQ и теплоемкостью с'(и) , зависящей от и, по формуле
c'M=llWc{b)- (5-4Л1)
8—1050
113
Как указывалось в начале данного параграфа, метод сопряженных полей применим в случае постоянной теплопроводности ко. Следовательно, его можно использовать, если вместо реальной системы мы будем исследовать фиктивную среду, описываемую уравнением
(5.4.10). Температура фиктивной среды и не совпадает с 0, однако тепловое смещение Н и энтальпия h остаются прежними. Энтальпия определяется выражением
и в
h = jc'(u)du=jc (6) d 0. (5.4.12)
о о
Следует отметить, что непосредственное применение метода сопряженных полей для фиктивной среды требует, чтобы тепловая система не содержала коэффициента теплообмена. Это можно показать, если вернуться к определению коэффициента теплообмена К-В соответствии с уравнением (2.2.1) запишем:
Нп = К(Ъ-Ъа), (5.4.13)
которое можно переписать также в виде
Нп~К' (и —иа), (5.4.14)
где
ы=и(0), ы0 = ы(60), К'(и) = 4^Г* (5-4Л5>
Следовательно, использование фиктивной температуры требует применения коэффициента теплообмена, зависящего от температуры, т. е. К'(и). Поэтому, когда теплопроводность зависит от температуры, сопряженное поле для твердого тела должно рассчитываться отдельно для системы, в которой отсутствует теплообмен на поверхности. Влияние этого теплообмена учитывается п дальнейшем при расчете обобщенных сил, воздействующих на твердое тело.
Метод сопряженных полей можно обобщить также на систему, в которой теплопроводность является анизотропной и одновременно зависит от температуры,причем тензор теплопроводности имеет вид:
М0)=?'«/(0), (5.4.16)
где k'a — постоянные. Считая /(0) безразмерной функцией температуры, мы получим аналоговую модель
114
теплопроводности k'a и фиктивную температуру
в
u = ^f{b)db (5.4.17)
о
с помощью метода, описанного при выводе уравнения
