Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
F = (5.2.3)
что полностью совпадает с подынтегральным выражением (1.2.8). Суммарный тепловой потенциал твердого тела, занимающего объем т, определяется выражением
V=\^Fdz. (5.2.4)
Необходимо отметить, что здесь тепловое расширение объема не учитывается.
5.3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
С помощью определения теплового потенциала (5.2.4) можно сформулировать вариационный принцип так, как это сделано в гл. 1 для линейных систем.
Следует подчеркнуть общие свойства теплопроводности, принятые для данного случая. Она может быть анизотропной и зависеть не только от координат х, у, z, но также и от времени t и температуры 0. Следовательно, тензор теплопроводности запишется в виде
кц=кц{х, у, z, t, 0). (5.3.1)
Зависимость теплопроводности от времени можно учесть в частных случаях, когда на физические свойства материала оказывают влияние внешние факторы, например некоторые виды излучения,
108
Как и ранее, при формулировке вариационного принципа мы используем обратную матрицу теплопроводности кц, определяемую уравнением (1.5.7) в виде
hi = Uj(x, у, z, t, 0). (5.3.2)
Соотношения Онзагера считаются справедливыми. Следовательно,
Xij—Xji- (5.3.3)
Вариационную формулировку можно получить, если ввести поле теплового смещения с компонентами в декартовой системе координат Hi — Hi(x, у, z, t). Это определение аналогично уравнению (1.5.1). Предположим, что оно удовлетворяет уравнению
^-Ё-ЕГ- <5-3'4»
Это уравнение является обобщением уравнения
(1.5.2), и его можно рассматривать как голономную связь между теплосодержанием h и тепловым смещением Hi. С помощью этих определений мы покажем, что вариационный принцип для нелинейного случая можно записать в виде
bV+ Г fI ('к W*Hi\ di = - { f 2 ЪпгЬН^А, (5.3.5)
1 V ) а
где V' дается уравнением (5.2.4), а интегралы берутся по объему твердого тела т и его границе А. По определению (5.2.4) и из уравнения (5.3.4) найдем:
i
W = j j* J ббМт = — J J j 0 8 Hidx. (5.3.6)
X X
Интегрируя по частям, получаем:
i i bV = ~ bHidx - J f J] UibHidA. (5.3.7)
Подставив это выражение в (5.3.5), получим:
ЯШ^+Ех,1"08Я-А=о- <53-8) 100
Это уравнение эквивалентно закону теплопроводности
^+5] № = 0. (5-3.9)
Оно аналогично уравнению (1.5.6) для линейной системы. Единственное различие между этими двумя уравнениями заключается в том, что в последнем случае Xij может зависеть от температуры.
Таким образом, мы установили справедливость вариационного принципа (5.3.5) для нелинейных систем. Следует отметить, что этот принцип по своему физическому смыслу соответствует утверждению, что скорость теплового потока Яi удовлетворяет закону теплопроводности при данном распределении температуры, в то время как закон сохранения энергии удовлетворяется автоматически самой формулировкой по аналогии с го-лономными связями в механике. В данном случае голо-номная связь выражается уравнением (5.3.4).
Неизвестное поле Hi можно определить через обобщенные координаты qu как
Hi = Hi(q 1, q2, ..., qn, х, у, г, t). (5.3.10)
Вариационный принцип (5.3.5) приводит в этом случае к системе п уравнений Лагранжа
4^-4—^-=Qt-. (5.3.11)
dQi dqt К ’
Поскольку вариационный принцип (5.3.5) формально тождественен формулировке для линейного случая, вывод уравнения (5.3.11) производится с помощью метода, используемого в § 1.5. Диссипативная функция D и термодинамическая сила Qi определяются уравнениями (1.5.18) и (1.5.22).
Принцип виртуальной работы и минимальная диссипация. Как уже указывалось в гл. 1, вариационный принцип можно рассматривать как принцип виртуальной работы. Это замечание, очевидно, применимо и к выражению вариационного принципа (5.3.5) для нелинейных систем. В частности, обобщенные тепловые
i
силы можно получить, вычислив вариацию SQiS^i, с помощью которой понятие виртуальной работы распространяется на термодинамические процессы.
ПО
Нелинейные уравнения Лагранжа (5.3.11) также Ьквнвалентны принципу минимальной диссипации, как было показано для линейной системы в § 1.4. Как и ранее, для нелинейной системы можно определить неравновесную силу в виде
(5.3.12)
При этом уравнения (5.3.11) выражают условие минимума диссипативной функции D для всех возможных зна-
i
чений причем должна быть постоянной. Необ-
ходимо заметить, что диссипативная функция является положительно определенной квадратичной формой относительно скорости, что вытекает из пропорциональности D локальному приращению энтропии.
Метод конечных элементов для нелинейных систем. Численный анализ нестационарного поля с помощью метода разделения области на конечные элементы можно распространить на нелинейные системы с помощью подхода, описанного в § 3.7. Уравнения Лагранжа
(5.3.11) выписываются для каждой подсистемы. Тепловые силы Qi на общих границах элементов можно сгруппировать по парам величин с противоположными знаками, но имеющих одинаковую абсолютную величину. Приравняв эти значения после перемены знака, получим систему уравнений для всей системы, из которой исключаются неизвестные Qi на общих границах элементов.
5.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
