Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
В § 6.4 метод сопряженных полей, рассматриваемый в гл. 4, обобщается на случай конвективного теплообмена. Для него применимо понятие циклических координат, что приводит к значительному снижению числа координат, необходимых для анализа. Для расчета сопряженных полей может также применяться метод, аналогичный принципу минимальной диссипации. Показано,
121
что возможность такого применения связана со свойством сопряженной системы, получаемой при обращении потока жидкости.
Еще один фундаментальный метод разработан в §6.5. Соответствующим определением диссипативной функции показано, что уравнения Лагранжа применимы как для конвекции, так и для теплопроводности. Таким образом смешанные системы, состоящие из твердых тел и движущейся жидкости, описываются единой формой уравнений как при ламинарном, так и при турбулентном течении. Поэтому для конвективного теплообмена может применяться принцип минимальной диссипации.
6.2. ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ
Рассмотрим границу твердого тела, находящегося в соприкосновении с движущейся жидкостью. Для описания общих свойств теплообмена между твердым телом и движущейся жидкостью введем понятие функции влияния, имеющей самое общее определение [Л. 6-1]. Это понятие естественным образом обобщает уравнения Лагранжа для теплопроводности в твердом теле с учетом конвективного теплообмена на границе, когда понятие коэффициента локального теплообмена теряет смысл. Автором б ранее опубликованной работе [Л. 6-2] показано, что конвективный теплообмен не может быть описан соответствующим образом с помощью локальных коэффициентов теплообмена.
Течение может быть ламинарным или турбулентным. В случае турбулентного течения поля скорости и температуры определяются с помощью усреднения флуктуаций. Скоростное поле считается заданной функцией времени и координат, а температура является неизвестным нестационарным или стационарным полем, определение которого входит в задачу теплообмена.
Для того чтобы сформулировать сопряженную задачу теплообмена между твердым телом и жидкостью, необходимо ввести так называемую адиабатическую температуру Qa(P, t), о которой говорилось в § 2.2. Она определяется как распределение температуры жидкости на границе твердого тела при отсутствии потока тепла через поверхность раздела. Иными словами, рассматривается температурное поле, образующееся в жидкости, при теплоизолированной границе твердого тела. Это
122
температурное поле может быть заданной функцией времени и зависеть от определенных внешних и внутренних факторов, вызывающих нагревание или охлаждение жидкости и возникающих в результате излучения, внутреннего трения, химических реакций, нагрева выше по течению и т. д. При таких условиях адиабатическая температура ва(Р, t) является температурой жидкости на границе с твердым телом и зависит от времени и координаты точки Р на поверхности твердого тела.
Для того чтобы сформулировать задачу теплообмена в случае нетеплоизолированной границы, примем вначале стационарные условия, а следовательно, течение и температуру, независимые от времени. В этом случае тепловой поток проходит через поверхность раздела, а температура жидкости на поверхности раздела теперь равна 0, а не адиабатической температуре 0а. Основным допущением является допущение о линейной связи теплового потока через поверхность раздела с разностью температур 0—0а на поверхности. Эта связь выражается интегральным соотношением
0-0а = ||Яп(П/-(^ P')dAp,. (6.2.1)
А
В этом выражении 0 и 0О являются соответственно действительной и адиабатической температурами в данной точке Р на границе. Поверхностный интеграл вычисляется по всем элементам поверхности dAp' на границе. Нп(Р')—скорость теплового потока в единицу времени на единицу площади поверхности твердого тела в точке Р'. Хотя уравнение (6.2.1) является линейным, оно не означает, что тепловые свойства жидкости подчиняются линейным законам. Необходимо только, чтобы тепловые возмущения, порожденные теплообменом на поверхности, удовлетворяли принципу суперпозиции в определенном диапазоне температур.
Свойства поверхностного теплообмена описываются двухточечной функцией r(P, Р'). В данном случае она вводится автором как функция влияния.
Причина такого обозначения, а также физический смысл этой функции станут ясными при рассмотрении мгновенного точечного источника тепла в точке Р'. Приращение температуры в точке Р на границе будет иметь вид;
в—ва = г(Р, Р'). (6.2.2)
123
Поток
Если за мачало отсчета взята точка Р', это выражение представляет двумерное температурное поле. В общем изотермы этого температурного поля будут аналогичны представленным на рис.
6.1, где показан «след» вниз по потоку от источника тепла.
р
Рис. 6.1. Изотермы для функции влияния г(Р, Р') при подводе тепла в точке Р' (схематическое изображение).
Анализ поверхностного теплообмена проводится в § 2.2 для частного случая, когда применимо по-
нятие локального коэффициента теплообмена К¦ Его можно рассматривать как предельный случай более общего понятия функции влияния при использовании функции Дирака 6(Р, Р') со свойствами
