Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Био М. -> "Вариационные принципы в теории теплообмена " -> 28

Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.

Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена — М.: Энергия , 1975. — 209 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipivteoriiteploobmena1975.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 61 >> Следующая

Определим функцию переменной х следующим образом:
0i (лс) = 1 внутри ячейки;
0t(jc) = 0 вне ячейки, (4.5Д6)
96
Тогда мы можем записать температурное поле в виде
в(л) = 2ва-*)в(лД (4'5Л7)
где 0(Xj) —локальная температура в точке Хг. Сравнив это уравнение с выражением (4.5.8), увидим, что локальная температура играет роль обобщенных координат
Q(Xi)=qt. (4.5.18)
Подставив значения 0г- из (4.5.16) в уравнение
(4.5.10), получим следующие сопряженные поля:
e'i(*)=—I&{gradg(*, (4.5.19)
Вычислив dij из уравнения (4.5.14), найдем тепловой потенциал
i i
V = -~ c(xi)’ziq1i=-^-^c(xi)^(xi)-Zi. (4.5.20)
Тепловая сила (4.5.15) равна:
Qi = Ч f f kbaп {grad g (х, л;,-)} dA. (4.5.21)
А
Используя значения У и Qi из (4.5.20) и (4.5.21), получим уравнения Лагранжа (4.5.12) в виде
с (х^ б (х^ = j J ?6an {grad g (х, х$ dA. (4.5.22)
А
Следовательно, температурное поле Q(Xi) можно определить непосредственно с помощью адиабатической температуры 0а на границе, используя функцию Грина g(x, Xi). Уравнение (4.5.22) является классическим выражением функции Грина.
Для того чтобы определить локальную стационарную температуру, не требуется находить функции Грина. Это следует из уравнения (4.5.12), если подставить в него Qi и V из (4.5.15) и (4.5,, 20):
с (х{) 6 (Xi) = — j j 6ae't-n dA. (4.5.23)
A
В этом выражении локальная температура 6(Xi) ячейки т; получается простой квадратурой из известного
7—1050 97
сопряженного поля ©V Это поле можно найти, минимизируя диссипацию в результате действия тепловых стоков c(xi)0i(x). По определению Qi(x) из (4.5.16) это соответствует равномерному распределению стоков c(Xi) в ячейке п.
4.6. СОПРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ И НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
В гл. 2 обсуждалось представление теплового потока с помощью нормальных координат. По уравнению (2.5.17) тепловой потенциал и диссипативная функция выражаются в обобщенных координатах |s следующим образом:
5 5
i/=4'S^s; D==^ (4-6Л)
Полное описание тепловой системы включает безди-вергентные поля смещения. Эти поля не влияют на температуру, и поэтому в тепловой потенциал не входят соответствующие им координаты. Этим полям соответствуют нормальные координаты с нулевыми характеристическими значениями Ks.
Предположим, что v значений ..., \ не равны
нулю, a k остальных значений равны нулю. Тогда
Я3=0, (4.6.2)
если s=v + l, v + 2, ..., v+k. Выражения (4.6.1) принимают вид:
F = 0=_Ljr, + _l|f Н. (4.6.3)
5=1 S—1 S=V + I
Циклическими координатами в этом случае являются величины Sv+1, Sv+2,..., Sv+ft. В выражениях (4.6.3) они уже не связаны с нециклическими координатами S2,... ..., Sv и друг с другом.
Как указывалось в § 4.2, существование циклических координат непосредственно вытекает из выражений
98
(4.G.3). Это можно показать следующим образом. Введем линейное преобразование
= 2 Мг> (4.6.4)
j=i
где s— 1, 2, ..., v. Аналогично
(4-6-5)
г=1
где s = v+l, v + 2, ..., v+i&. Подставив значения ?s из
(4.6.4) и (4.6.5) в выражения (4.5.3), получим V и D в виде
^ */
У=~y J] ai^iqy,
ij lm
D=-Y J] ®i34i4i +4" J] (4.6.6)
где i и j принимают значения от 1 до v, а I и т — от
1 до к. Переменные f'i не входят в выражения для V. Они являются циклическими координатами. Кроме того, все связывающие члены, содержащие в себе qi и /'/, равны нулю, что совпадает с результатами § 4.2.
Бесконечное вырождение. Циклическое подпространство. Предыдущие рассуждения показывают, что возможность разделения циклических и нециклических координат вытекает из свойств нормальных координат. Циклические координаты можно рассматривать как линейную комбинацию релаксационных мод вырождения с нулевыми характеристическими корнями Xs. Вследствие свойств ортогональности эта линейная комбинация не содержит релаксационных мод, соответствующих нециклическим координатам, для которых корни К* не равны нулю.
Уравнения для циклических координат не связаны, и их можно получить из выражения (4.6.6) для D в виде
m
2b"lmfrm = Fu (4.6.7)
где Fi~- обобщенная сила, сопряженная с координатой /',. С математической точки зрения полное описание поля, соответствующего циклическим координатам, тре-7* 99
бует бесконечного числа таких координат. Действительно, в данном случае мы имеем дело с функциональным пространством всех полей Н, обладающих свойством divH —0, которое можно назвать циклическим подпространством. Это подпространство можно определить также в виде бесконечного числа нормальных координат^ с характеристическими корнями, равными нулю. Следовательно, существует бесконечное число кратных нулевых корней. Циклическое подпространство характеризуется бесконечной степенью вырождения. Плотность теплового потока Н в циклическом подпространстве дается значениями /V Уравнения (4.6.7) показывают, что они однозначно определяют тепловые силы Ft. Заметим, что значения Fi могут зависеть от времени, поскольку они определяются адиабатической температурой 0а на границе. Однако в циклическом подпространстве плотность теплового потока Н в любой данный момент времени равна плотности теплового потока
в стационарном состоянии, полученной при постоянной адиабатической температуре, равной 0а в данный момент времени. Иными словами, решение в циклическом подпространстве представляется бесконечным рядом стационарных полей.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed