Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Минимальное D при варьировании 0 и ограничении
(4.4.20) находим с помощью минимизации функционала
* |^_в.пЛ4> (4.4.21)
где А—множитель Лагранжа. Отсюда получаем уравнения Эйлера
©'Н- grad А = 0 (4.4.22)
и граничное условие
-^-0'„— А —0. (4.4.23)
С учетом соотношения (4.4.20) получим уравнение —® = div(fegradA), (4.4.24)
котррое должно удовлетворять граничному условию
KA+k grad„ A=0. (4.4.25)
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (4.4.14) и
(4.4.15), находим, что
А^^яр. (4.4.26)
Из уравнения (4.4.22) следует, что
0'=—6gradi|x (4.4.27)
Следовательно, поле 0', полученное с помощью минимизации функционала (4.4.19), совпадает с сопряженным полем, найденным из уравнения (4.4.12).
93
A<div0'—a')
2
А
Дальнейшее обобщение. Выше мы считали, что выражения
(4.4.1) и (4.4.11) для 0 и 1); не содержат времени в явном виде. Однако такое допущение необязательно. Рассмотрим температурное поле 0 = 0 (<7i, (72, • ¦., <7V х, у, z, t), которое содержит время в явном виде. Сопряженное поле при этом можно получить следующим образом. При заданном t и <7, распределим стоки тепла —w = c& по объему, принимая адиабатическую температуру на границе равной нулю. При этих условиях из стационарной температуры г|) получим сопряженное поле в'((?ь <?2, • •-,?»¦ х, у, z, t)=—k grad i|).
Результаты этого параграфа получены для случая изотропной теплопроводности. Они легко обобщаются на случай анизотропной теплопроводности. Метод определения сопряженного поля с помощью аналоговой модели с распределенными стоками тепла из принципа минимальной диссипации применим и для анизотропной теплопроводности.
4.5. СВЯЗЬ С ФУНКЦИЕЙ ГРИНА
Рассмотрим температурное поле, записав его в виде 0(х) =.0(<?!, q2, ..., 9у, х, у, z).
Для заданных значений qi оно является функцией х, у, z. Введем обозначение 0(х), где jc — сокращенная запись трех координат х, у, z. Векторное поле, сопряженное с 0(л:), можно выразить с помощью функции Грина. Не нарушая общности, рассмотрим систему с изотропной теплопроводностью. Введем следующее допущение для функции Дирака в сокращенной форме
б (х, х') =8(х—х', у—у', z—z'), (4.5.1)
где координаты х, у, z и х', у', z’ обозначены соответственно через х и х’. Определим функцию Грина, потребовав, чтобы она удовлетворяла уравнению
div(& grad g) =с(х')6 (х, х') (4.5.2)
с граничным условием
Kg + k grad„g = 0. (4.5.3)
В этих выражениях с(х') =с(х', у', z') обозначает теплоемкость, а операции div и grad производятся по переменным х, у, z.
Известное свойство функции Дирака выражается соотношением
c(jc)0(x)= Jjjc(jc')0(^,)8(-x:. x')dx’, (4.5.4)
94
где dx' обозначает dx', dy', dz'. Следовательно, уравнение (4.4.6) можно переписать в виде
div (^ grad ф) — j j‘j’c(x')6(x,)8(x, x’)dx’. (4.5.5)
Поскольку g удовлетворяет соотношению (4.5.2), решение уравнения (4.5.5) получается в виде
ф = ? j j g (х, х') 6 (х') dx'. (4.5.6)
т
Условие (4.5.3) для g означает, что функция ^ удовлетворяет граничному условию (4.4.10). Поэтому выражение для поля, сопряженного с 0(я)> в данном случае принимает вид:
0' (*) = — k jj j (grad g)0 (x')dx'. (4.5.7)
Если представить температурное поле как
b(x)=='2ibi(x)qi, (4.5.8)
то соответствующее тепловое смещение будет:
Н(*) = 20'П*)^- (4-5.9)
Для каждой конфигурации температуры 0г(я) име-
ется сопряженное векторное поле 0'*(я). Каждое сопряженное поле получается из 0г(*) с помощью функции Грина по уравнению (4.5.7). Запишем:
0'г (х) = — k Jjj(gradg-)e2(x,)^x'. (4.5.10)
т
Функция Грина применима также, когда 0(я) содержит время t в явном виде. В этом случае 0 представляется в форме
0(х) =Q(qu <72, qv,x,y,z,t). (4.5.11)
Сопряженное поле получается подстановкой в уравнение (4.5.7) функции 0(х) из уравнения (4.5.11).
Стационарные решения. Вывод сопряженных полей с помощью функции Грина позволяет проследить связь метода, описанного в данной работе, с некоторыми классическими результатами теории дифференциальных уравнений в частных производных.
95
При не зависящей от времени адиабатической температуре 0а на границе, т. е. при постоянных тепловых силах, система находится в стационарном состоянии, которое достигается спустя некоторое время и характеризуется температурным полем. Это стационарное решение легко получается при’использовании сопряженных полей.
Представим температурное поле в виде линейной суперпозиции полей из уравнения (4.5.8) при соответствующем сопряженном поле (4.5.9). Поскольку мы используем сопряженные поля, необходимо, чтобы qi было постоянным. Следовательно, qi=0 и диссипативная функция не рассматривается. Положив D = 0, получим уравнения Лагранжа для стационарного состояния в виде
^ Qt. (4.5.12)
dqt
Используя значение 0 из (4.5.8), выразим тепловой потенциал в виде:
ч
V = j jj cb2dx— ^ difliqi, (4.5.13)
т
da — j [j c(x)bi(x)b}(x)dx. (4.5.14)
где
Из уравнения (2.3.12) тепловые силы будут:
Q/= — j J 0oe'in dA, (4.5.15)
где интегрирование производится по границе А объема т.
Теперь рассмотрим частный случай обобщенных координат, разделив объем т на небольшие ячейки объемом т,-. Положение каждой ячейки характеризуется координатой Xi. Рассмотрим ячейку Xj.
