Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
ii il D — ~2" <®г'3<7г'<7з ~Ь tt’uqiYl ~Ь
Im
+4-?6' W'l/'m- (4.2.12)
Новые коэффициенты будут:
I Im -j
j = Ьц ~Ь 2 (b'ilal3 ~Ь b’ii&ii) -f- 2 Ь"im&u&mj’, J
(4-2.13)
ffi'il = b'ii ~Ь 2 b"lmami' ]
Переменные q,• и f't не связаны, если
m
= b'u + 2 b' 'lm<xmi = 0. (4.2.14)
Для каждого значения i эти соотношения представляют систему k уравнений для неизвестных ато*. По-
скольку D — положительно определенная величина, ча-
т
стная квадратичная форма 2 b"imfifm в выражении
(4.2.8) также положительно определенна. Следовательно, детерминант из коэффициентов b"im не равен нулю.
85
В этом случае уравнения (4.2.14) имеют единственное решение для a mi- Несвязанные уравнения запишутся в виде
/ / т
2 = Q'l- (4.2.15)
Итак, мы получили систему двух независимых наборов дифференциальных уравнений: один относительно группы v переменных qu другой для группы k переменных /V Переменные f'i являются циклическими координатами.
Новые силы Q'i и Q'i определяются из принципа виртуальной работы следующим образом:
i- (4.2.16)
Подставив вместо б/; их значения из уравнения (4.2.11) и приравняв коэффициенты б qi и Ьf'i в обеих частях уравнения (4.2.16), получим:
i
Q'i = Qi 2^г<Хгг’ Q i=Qi- (4.2.17)
Важность полученных результатов будет видна из дальнейшего.
Предположим, мы вычислили коэффициенты а,ц из уравнения (4.2.14). Подставив значения /; из (4.2.11)
в выражение (4.2.1) для поля теплового смещения, по-
лучим:
Н = 2®'^+2РгГь (4.2.18)
где
е'*=е<+2Р,а„. (4.2.19)
Если мы интересуемся только температурой, то можем опустить члены, содержащие циклические координаты f'i. В этом случае исходим из температуры
0=29^' (4-2-20)
и сопряженного теплового смещения
Н'=20'^*- (4.2.21)
86 '
Компоненты векторных полей в'* Можно также нЗ' звать сопряженными с соответствующими скалярными полями Ог- Заметим, что удовлетворяется следующее соотношение:
6г= —div 0'г-. (4.2.22)
Если опустить члены, содержащие циклические координаты, диссипативная функция (4.2.12) будет:
Ч
(4.2.23)
Отсюда получаем уравнение Лагранжа для координат qi
(4'2'24)
которое содержит только v неизвестных q{.
Можно показать, что температуру можно получить независимо из выражения теплового потока, если исходить из суперпозиции фиксированной температурной конфигурации 0г, определяемой выражением (4.2.20), вычисляя для каждого поля 0; сопряженное векторное поле 0'*.
4.3. ПРИНЦИП МИНИМАЛЬНОЙ ДИССИПАЦИИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ ПОЛЕЙ
Покажем, что для данного температурного поля 0,-сопряженное поле 0'г можно вычислить с помощью принципа минимальной диссипации.
Будем считать, что все нециклические координаты, кроме qiy равны нулю.
Поле теплового смещения (4.2.1) представляется в виде
н=e147<+2Fifi. (4-зл)
Выберем k координат ft, пропорциональных qit и запишем
(4.3.2)
87
Пока еще не определены k коэффициентов fy*. Тепловое смещение (4.3.1) принимает вид:
и=Це,+2Р«р«)*. (4.3.3)
Производная по времени от Н будет:
H = (e,+2FipK)^. (4.3.4)
Следовательно, диссипативная функция при вариации только qi будет:
I 1т
D — \^~2~Ьц -j- Ь'ифн -f- -g- q2 i . (4.3.5)
Она получается подстановкой fi=^nqi в уравнение
(4.2.8).
Теперь выберем коэффициенты таким образом, чтобы диссипация D была минимальной. Для этого необходимо, чтобы удовлетворялось следующее уравнение:
? = 0, (4.3.6)
тогда
т
&'« + 2&"imP»rf = 0. (4.3.7)
Но эти соотношения полностью аналогичны уравнениям (4.2.14) для определения коэффициентов ат,. Следовательно,
$и = ан. (4.3.8)
Поэтому, выбирая коэффициенты таким образом, чтобы диссипативная функция была минимальной, получим выражение в скобках в уравнении (4.3.4), определяющее сопряженное поле (4.2.19):
е,<=е<+2р'а«- (4-3-9)
Аналоговая модель для сопряженного поля. Эти результаты можно выразить в несколько ином виде. Будем исходить из заданного температурного поля
е=0«/4 (4.3.Ю)
и поля теплового смещения
Н = Н«7<. (4.3.11)
88
Поле Hj не определяется 0j. Однако оно удовлетворяет условию
с0г = —divHi. (4,3.12)
Это условие можно записать в виде
до = div Н, (4.3.13)
где
ш = — с0 = — cbiqi. (4.3.14)
Уравнение (4.3.13) является такой аналоговой моделью, где плотность теплового потока Н равна плотности теплового потока, обусловленного распределенными источниками тепла с мощностью тепловыделения w в единице объема. Можно также сказать, что тепловой поток имеет место в результате тепловых стоков с мощностью с0 = —w. Если <ji=l, можно записать:
ш = — cbi = div Нг; Н = Нг. (4.3.15)
При этих условиях Hj является плотностью теплово-
го потока, обусловленного наличием стоков с0* = —w. Наложив дополнительное условие минимальной диссипативной функции при Н = Н^, получим сопряженное поле Hj в виде
Нг = 0'г. (4.3.16)
В следующем параграфе получим тот же результат, применив другой метод, и покажем, что условие минимума эквивалентно уравнениям для теплового потока в стационарном состоянии со стоками с0* при граничном условии, когда адиабатическая внешняя температура 0о = О.
4.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СОПРЯЖЕННЫХ ПОЛЕЙ
Характер и свойства сопряженных полей станут еще яснее при использовании несколько иного подхода.
