Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
78
диентов до значительных в областях с более равномерным распределением температуры. Выбор сетки зависит от необходимой точности и экономичности расчетов.
Затем вычисляются операторы Zf) для типичной стандартной
ячейки. Система уравнений для теплового смещения на общих границах получается из принципа взаимовлияния (3j7.4) или с помощью эквивалентного метода, где тепловые силы на этих границах (приравниваются друг другу при соответствующем изменении знака.
При использовании вариационного принципа в дополнительной форме вычисляются операторы ,по уравнению (3.7.9) и получаются уравнения (3.7.13) для неизвестных тепловых сил, которые можно определить с помощью температур в вершинах сетки.
3.8. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР РЕЛАКСАЦИИ
Применим операционный метод к задаче, которую мы уже рассматривали в § 2.7. Являясь иллюстративным примером, задача приводит к понятию непрерывного спектра релаксации.
Пластина толщиной I мгновенно нагревается до постоянной температуры 0о на границе х = 0 в момент '/ = 0, а на границе х = 1 температура поддерживается' постоянной, равной нулю. Тепловое смещение представим в виде
П
Snnx
Чп cos——, (3.8.1)
а соответствующую температуру
п
п ЖП ntlX
0 = ~7J" 2jnqn sin —j— • (3.8.2)
Поскольку задача одномерна, вычислим V и Si, используя в качестве объема интегрирования цилиндр с образующей, параллельной оси х, с поперечным сечением, равным единице. Из уравнений (3.6.3) и (3.6.4) в данном случае имеем:
п п
1 я! п I 1 /
v = — ^ = '2F<?2» + T-^2j‘7V (3,8-3)
Если 0о — температура при х=0, значения Qo и Qn будут:
Qo = Qn —0о. (3.8.4)
Тогда операторные уравнения (3.6.8) примут вид:
2k k (К + р)4п = — 9»; pih = ~Г 00, (3.8.5)
где
_ Ь2”2 ,о О
и — • (3.8.6)
Решение в операторной форме уравнений (3.8.5) будет:
1 2k k
<7п= р_|_xn i 0ol [<7o = pi 0o- (3.8.7)
79
Правая часть уравнений представляет оператор, воздействующий на функцию 0о. В этом случае 0о — постоянная температура, мгновенно устанавливающаяся в момент t = 0. Следовательно, 0О необходимо заменить на В соответствии с правилами операционно-
го исчисления (3.5.7), уравнения (3.8.7) можно записать в виде
= 0 — ); ?° = -j- 0„f, (3.8.8)
что совпадает с уравнениями (2.7.14).
Можно также выразить тепловую восприимчивость при х=0. Тогда тепловое смещение (3.8.1) принимает вид:
П
H = q0 + '2iqn- (3.8.9)
Введем значения q0 и qn из уравнения (3.8.7) и запишем:
H=A{p)Q о, (3.8.10)
где
П
k 2k
л(/>)= Р1 + 2jt(/>+K)-
(3.8.11)
— восприимчивость на границе х = 0. Это частный случай общего выражения (3.2.11). для тепловой восприимчивости. Следует отметить, что величина А из уравнения (3.2.11) может включать члены вида 1 /р, соответствующие нулевым значениям Xs.
Рассматривая предельный случай пластины бесконечной толщины, можно прийти к понятию непрерывного спектра релаксации. В пределе сумма в уравнении (3.8.11) заменяется интегралом. Для того чтобы показать это, найдем приращение
д П-=(*я+1)1/2-(*.)1/2 = Т-(4)1/2 • (38Л2)
Следовательно,
1 1 / с \ 1/2
-Гв—(т) AVT- <3-8л3>
Для малых значений 1/1 приращение Л К л можно заменить дифференциалом
А^Г=2~ЙТ' (3'8'14)
В пределе суммирование в уравнении (3.8.11) можно заменить интегрированием
(kc)U2 f 1 dk
л (^) = п J р + Т ~ух~ ’ (3'8л5)
о
Таким образом, тепловая восприимчивость выражается с помощью непрерывного спектра постоянных релаксаций Я с плотностью распределения 1/КХ
80
С помощью интегрирования уравнения (3.8.16) получим:
А(р) = (^уУ‘2, (3.8.16)
которое представляет тепловую восприимчивость полупространства.
Следует отметить, что этот результат можно получить непосредственно из уравнения теплопроводности, записанного в операторной форме
d2 8
k-^r = pC%. (3.8.16а)
Решение этого уравнения (при граничных условиях при х—О
0 = 0о и при х=эо 0=0) будет:
0 = 0.ехР|-х^у/2 (3.8.166)
Тепловое смещение при х=0 равно:
Следовательно, Я/0о совпадает со значением А(р) из >(3.8.16).
Следует отметить, что знак суммы в выражениях (3.2.11) и
(3.3.13) для тепловой восприимчивости и полного теплового сопротивления можно заменить (частично или полностью) интегралом со спектральной плотностью распределения, если некоторые границы тепловой системы лежат в бесконечности. Мы можем также заменить сумму интегралом в приближенных вычислениях.
Глава четвертая СОПРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущем анализе тепловое поле описывалось с помощью векторов теплового смещения. Преимущество такой формулировки заключается в строгом выполнении закона сохранения энергии. В то же время она позволяет использовать принцип виртуальной работы, который дает общий подход, аналогичный методам классической механики. Однако описание векторного поля требует большего числа неизвестных, чем в скалярном представлении температурного поля. Это наиболее четко проявляется при решении двух- и трехмерных задач. Для того чтобы избежать трудностей, связанных с векторным опи-
6—1050 81
санием, разработан метод, сочетающий в себе преимущества использования скалярного поля, при одновременном строгом выполнении закона сохранения энергии и возможности применения принципа виртуальной работы. Мы назвали этот метод методом сопряженных полей [Л. 4-1]. Он вытекает из существования циклических координат в том же смысле, что и в классической механике. Метод сопряженных полей имеет следующие преимущества:
