Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Био М. -> "Вариационные принципы в теории теплообмена " -> 22

Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.

Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена — М.: Энергия , 1975. — 209 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipivteoriiteploobmena1975.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 61 >> Следующая

3. Метод свертки.
Хорошо известно, что произведение двух преобразований Лапласа представляет собой свертку соответствующих функций, как следует из уравнения (3.4.10). Следовательно, в вариационном принципе (3.6.2) можно положить:
t
080 = j 0 (f — *') 80 (t')dt'\
о
t
H/?8H = j H (/ — t') SH (t')dt'\
0 t
05H = J 0 (/: — f) 6H (t')dt'.
(3.6.11)
Величины 0 и H являются теперь как функциями времени, так и координат и связаны условием 00 = =—div Н. Подставив выражения (3.6.11) в уравнение (3.6.2), получим вариационный принцип для неизвестного поля Н в виде функции времени и координат. Применение метода свертки для получения операторно-вариационных принципов рассматривалось в работе Шапери [Л. 3-6] и Гуртина [Л. 3-7].
3.7. ПРИНЦИП ВЗАИМОВЛИЯНИЯ
Рассмотрим тепловую систему, которую можно разделить на некоторое число областей, имеющих общие границы. Каждая область представляет подсистему, которую можно рассматривать в отдельности. В частности, мы можем определить общее термосопротивление каждой подсистемы. Покажем, что в этом случае можно получить операторные или интегро-дифференциальные уравнения для всей системы с помощью вариационного принципа, который аналогичен принципу виртуальной работы в механике {Л. 3-8].
Обозначим число различных областей системы через s (рис. 3.1). Тепловые сопротивления подсистем, соответствующих этим областям, обозначим 4epe3Zt(*). Как и ранее, при рассмотрении полного теплового сопротивле-
73
ния необходимо определить соответствующие внешние координаты. В данном случае они определяются следующим образом.
Рассмотрим границу АВ, общую для областей s и s + 1 (рис. 3.1). Выберем распределение теплового смещения с нормальной компонентой на границе раздела АВ, выраженной Hvqiy где Яр зависит только от координат границы раздела. Это является определением обобщенной координаты qi для границы раздела АВ и представляет общую внешнюю координату для двух смежных подсистем s и s+1. В общем случае мы можем найти определенное число таких внешних координат для любой границы раздела между двумя смежными областями. Для каждой области запишем уравнение
Qi = ^q5, (3.7.1)
где qj — обобщенные координаты на границе этой области, a Qj —соответствующие тепловые силы на этой границе. Поскольку Z^ —Zjf, из уравнения (3.7.1) получаем вариационное соотношение
i
^Qibqt^bZM,
где
z(8)=4-Sz:? w-
(3.7.2)
(3.7.3)
Рис. 3.1. Области системы и определение обобщенных координат на границе раздела АВ.
Суммирование распространяется на переменные, определенные для границ областей s.
76
Теперь просуммируем уравнения (3.7.2) для всех областей
2J(W?, = 8Z, (3.7.4)
где
Z = 2Z<S>. (3-7-5)
Этот результат можно объяснить с помощью QiSqi-
i
Суммирование ^ производится до переменных на границе
всей системы и на границах раздела подсистем. Однако на границах подсистем слагаемые попарно группируются и взаимно сокращаются. Рассмотрим, например, координату <7j на границе раздела АВ. Для области s соответствующая тепловая сила будетф^ , а для области s+1 — Q's+1>. Внешние нормальные векюры этих двух областей имеют противоположные направления, а температуры одинаковы. Отсюда
Q<s) = -Q<s+1) (3.7.6)
и
(Q|s)+Qf+I))8<7,= 0. (3.7.7)
Поэтому все силы на границах подобластей исчезают при суммировании в вариационном принципе (3.7.4), Легко показать, что из этого вариационного принципа получаются уравнения
(3J-8)
В первой группе уравнений тепловые силы Qi действуют на внешних границах всей системы, а <7* — обоб* щенные координаты на этих границах. Во второй подгруппе координаты qj являются координатами на границах подсистем.
Из-за операторного характера Z уравнения (3.7.8) представляют собой систему интегро-дифференциальных уравнений для неизвестных qi и qj.
Дополнительная форма принципа взаимовлияния. Можно взять тепловые смещения на общих границах
77
подсистем с противоположными знаками. Тогда обобщенные силы на этих границах равны. Записывая уравнения (3.7.1) для каждой области s и разрешая их относительно qi
(3-7-9)
с помощью матрицы оператора которая является
обратной матрице [2^'], имеем (3.7.9). Дополнительные квадратичные формы определяются следующими уравнениями:
(3-7Л0)
Л = 2^1(8)- (3.7.11)
Тогда следующий дополнительный вариационный принцип проверяется произвольной вариацией
2<7*8& = 8Д (3.7.12)
которая следует из уравнения (3.7.9). Суммирование
i
2 Яt^Qi содержит только переменные qi на внешней границе всей системы. Переменные qt на общих границах подсистем выпадают, поскольку они появляются попарно с обратными знаками. Из вариационного принципа (3.7.12) получаем операторные уравнения
^^4 _ « ,гч ч < о\
Ж=0- (37л3)
В отличие от уравнений (3.7.8) в этих соотношениях температура на обших границах считается неизвестной, a q$— переменные теплового смещения на границе всей системы. В общем случае они будут соответствовать интегро-дифференциальным уравнениям.
Приложение вариационного принципа к методу конечных элементов. Численный анализ нестационарного поля можно провести, разделив область на конечные элементы. Например, в двумерном поле элементы могут иметь вид треугольной сетки. Размеры элементов могут быть различными: от небольших в области больших гр?-
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed