Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
1. При использовании этого метода без нарушения закона сохранения энергии значительно уменьшается число неизвестных в двух- и трехмерных задачах в результате разделения циклических координат и температурного поля.
2. Позволяет ввести координаты, которые содержат основные свойства физической системы (например, свойство взаимности). Поэтому координаты представляют частное решение задачи, что еще больше сокращает число неизвестных.
3. Процесс решения задачи двухступенчатый: сначала из принципа минимальной диссипации определяется сопряженное поле, а затем проводится интегрирование дифференциальных уравнений для неизвестных координат, описывающих температурное поле.
4. В стационарных задачах температура в одной части системы определяется независимо от температуры в другой. Они получаются непосредственно для любого распределения температуры ;яа границе, причем не требуется повторных расчетов для каждой части.
Существование циклических координат, которые можно отделить от температурного поля, рассматривается в § 4.2. Даются определения сопряженного поля в виде векторного поля при заданной температуре. Как показано в § 4.3, сопряженное поле можно получить из температурного с помощью принципа минимальной диссипации. Существует другой способ нахождения сопряженного поля с помощью аналоговой модели. Показано, что эта модель также находится в соответствии с принципом минимальной диссипации. Связь между сопряженным полем и функцией Грина обсуждается в § 4.5.
Существование несвязанных циклических координат вытекает из свойства ортогональности нормальных координат, что обсуждается в § 4.6, где также вводится понятие циклического подпространства в виде бесконечно-
32
го множества нормальных координат, характеристические значения которых стремятся к нулю (случай бесконечного вырождения). Как уже указывалось, нахождение сопряженных полей для нормальных координат производится непосредственно. Обсуждается квазиста-ционарное решение как простой метод представления температурного поля в виде ряда стационарных решений и суперпозиции релаксационных мод.
Частный случай использования сопряженных полей рассматривается в § 4.7.
4.2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ
Поле теплового смещения можно записать в виде
н(4-2Л)
где
@г = вг (х, у, z); Fi=.Fi(jc, у, г) (4.2.2)
— заданные векторные поля. Последнее поле считается бездивергентным, т. е.
divF;=0. (4.2.3)
Обобщенные координаты таким образом делятся на две группы. Система описывается v координатами qi к k координатами fi, Вместе они составляют n = v + k координат, которые полностью определяют поведение термодинамической тепловой системы. Температурное поле 0 получается из Н с помощью соотношения
0= —l— divH. (4.2.4)
Подставив в это уравнение значение Н из (4.2.1) и учитывая условие (4.2.3), получим:
0 = 20*7* (4-2.5)
где
0*= — -j-div©,-. (4.2.6)
В этих выражениях теплоемкость c(x,y,z) может быть функцией координат. При таких условиях тепло-
6* 83
вой потенциал зависит только от координат и выражается квадратичной формой
ч
V = -g-(4.2.7)
При суммировании t и / принимают значения от 1 до V.
С другой стороны, диссипативная функция будет содержать все v + k координат qt и fi. Запишем:
>7 И 1т
D = 4- ЬаЯгЯ) + ^ b'iiqi ~ J b"lmft fm.
(4.2.8)
Здесь i и / принимают все значения от 1 до v, а I и т — от 1 до k. Квадратичная форма D является положительно определенной. Она получается путем применения выражений (1.6.18) и (2.2.12) для изотропной или анизотропной теплопроводности. Здесь принимается, что теплопроводность k(x,y,z) или kij(x,y,z) может зависеть от координат и не зависеть от времени.
Из V и D получаем дифференциальные уравнения, описывающие поведение системы во времени:
' dD =Qi; 4r-=Qz- (4-2.9)
dqt d'h
В этих уравнениях Q* и Qi — тепловые силы, соответствующие координатам qi и fi. Подставив выражения (4:2.7) и (4,2,8) в уравнения (4.2.9), получим в явном виде
1 1 . 1
2 +Sbiiqi+2 ь'и^1 ~ Q|,;
i т
2 b'ifli + 2 b"lmfm = Ql-
(4.2.10)
В этой системе k координат fi не входят в выражение для теплового потенциала. Такая система обладает k циклическими координатами.
Эта терминология вводится автором в его работе по диссипативным явлениям [JI. 4-2]. Она аналогична терминологии, используемой в классической термодинамике, и относится к случаю системы с (v + &) степенями
84
свободы, когда потенциальная энергия содержит только v координат. Динамические уравнения можно свести к v уравнениям с v неизвестными, а остальные k координат обозначить как циклические. Этот метод применим также к термодинамической системе, описываемой уравнением (4.2.10). Покажем, что эти уравнения можно свести к системе, где переменные qi и новые переменные f'i не связаны.
Пусть система определяется теми же v координатами qi, а также новым набором k координат f'i. С помощью этих новых переменных старые координаты запишутся в виде
fi — fiJr'^1aiiqh (4.2.11)
где aiij—(kXv) коэффициентов, подлежащих определению. Подставив значения fi из (4.2.11) в диссипативную функцию (4.2.8), получим:
