Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с обобщенными координатами можно использовать также континуальный подход. Рассмотрим случай изотропной теплопроводности. Плотность теплового потока в циклическом подпространстве выражается
в виде
Н = — A grade, (4.6.8)
где 0 удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
div (к grad 0) =0 (4.6.9)
и граничному условию
/С(0—ва) +к grad„0 = O, (4.6.10)
где К — коэффициент теплообмена на границе. Очевидно, что эти уравнения определяют температуру 0 в стационарных условиях при заданной адиабатической температуре 60 на границе. Аналогичные уравнения можно получить и в случае анизотропной теплопроводности (см. § А.4).
100
Сопряженные поля для нормальных координат. Теперь рассмотрим случай температурного поля, представленного с помощью нормальных координат. Имеем:
9=26^’ (4-6Л1>
где
Qs=i0s(x, у, z) (4.6.12)
— нормированные температурные поля, являющиеся характеристическими решениями, аналогичными решениям (2.5.11). Запишем тепловое смещение в виде
н=2е'А, (4.6.13)
где 07s (л:, у, г)—векторное поле, сопряженное с 0S. В случае нормальных координат эти сопряженные поля легко получить следующим образом.
Рассмотрим случай изотропной теплопроводности.
Поскольку 0S представляет характеристическое решение, релаксационная мода
0 = 0.e“V (4.6.14)
является решением уравнения теплопроводности
^9 dt
div (&grad0) = c-^-. (4.6.15)
Отсюда следует:
div (A grad 0S) =—cAsSs. (4.6.16)
Релаксационная мода удовлетворяет граничному условию
/С0а+|& grad„'04=O. (4.6.17)
В § 4.4 показано, что сопряженное поле определяется выражением
0's=—k grad (4.6.18)
где i|j удовлетворяет уравнению
div (k grad if),=c0s (4.6.19)
и граничному условию
Kty + k gradn'»l5=0. (4.6.20)
101
Решение этих уравнений легко получить, учитывая тождества (4.6.16) и (4.6.17)
В случае анизотропной теплопроводности аналогичное выражение для сопряженного поля имеет вид:
где 0'is — компоненты 0's, a xj означает координаты х, у, z.
Квазистационарный поток. В § 2.6 квазистационар-ное решение было представлено в виде непрерывного ряда мгновенных стационарных состояний с поправкой, выраженной с помощью обобщенных координат. Такое же квазистационарное решение можно получить с помощью нормальных координат [Л. 4-1]. Представим температурное поле в нормальных координатах
где 0'« дается выражением (4.6.22). Тепловой потенциал и диссипативная функция имеют вид:
Это выражение включает в себя поверхностный интеграл по границе от адиабатической температуры 0а.
102
(4.6.21)
Отсюда сопряженное поле будет:
6's=-^-grad 0S.
(4.6.22)
(4.6.23)
0=210^'
(4.6.24)
Соответствующее сопряженное поле будет:
н=20/^>
(4.6.25)
S
(4.6.26)
Тогда уравнения Лагранжа будут XsQs Qs — Qs,
(4.6.27)
где
(4.6.28)
А
Представим решение в виде мгновенных стационарных состояний q*s с поправкой q+s. Отсюда
qs=q+s + q*s¦ (4.6.29)
Мгновенное стационарное состояние q*s является равновесным состоянием, которое имело бы место при постоянной во времени адиабатической температуре 0а. Его можно получить, положив qs = 0 в уравнениях
(4.6.27). Запишем:
q*s=-^-. (4-6.30)
Лв
Подставив выражение (4.6.29) в уравнения (4.6.27), получим:
где
ч++?:=--?-' (4-6.31)
Q6 = — ||0ов'6шМ. (4.6.32)
Тогда температурное поле будет:
0 = 0* + 0"*", (4.6.33)
где 0* определяет мгновенное стационарное состояние, а поправка 0+ выражается в виде
«¦=2Ч*. <46-34>
Обобщенные координаты q+s находятся из решения уравнений (4.6.31). Заметим, что величины в правой части уравнений (4.6.31) играют роль фиктивных тепловых сил, пропорциональных производной по времени от адиабатической температуры 0а. Стационарное поле 0* можно определить непосредственно (без использования обобщенных координат) из решения дифференциального уравнения в частных производных для стационарной температуры при заданном значении 0О на границе. Пример из § 2.7 является иллюстрацией разделения на стационарное решение и поправку, выраженную через нормальные координаты.
103
4.7. ПРИМЕР СОПРЯЖЕННЫХ ПОЛЕЙ
Для иллюстрации применения сопряженных полей в задачах теплопроводности рассмотрим простую структуру, поперечное сечение 'которой представлено на рис. 4.1 [Л. 4-3]. Она состоит из двух фланцев толщиной а с переходным соединением толщиной 2ai. Материал считается однородным, имеющим постоянный коэффициент
Рис. 4.1. Сопряженное поле для теплового потока в теле сложной
конфигурации.
теплопроводности k и теплоемкость с. Задача сводится к нахождению распределения температуры в плоскости фигуры. Структура нагревается в результате поверхностного теплообмена с коэффициентом теплообмена К при адиабатической температуре на внешней поверхности фланцев. Если нагрей поверхности осуществляется в результате контакта с движущейся жидкостью, это допущение о поверхностном теплообмене справедливо при поперечном обтекании фигуры.
Однако при продольном обтекании предпочтительнее другие допущения. Они будут рассмотрены подробнее в гл. 6 и 7.
Рассчитаем стационарную температуру в переходном соединении при постоянной адиабатической температуре вдоль внешних поверхностей фланцев. Температура верхнего фланца равномерна и не равна температуре нижнего. В результате симметрии структуры температурное поле можно всегда представить в виде симметричной и антисимметричной частей относительно центра соединения. Если адиабатические температуры на верхнем и нижнем фланцах равны соответственно 0о и —0о, то температурное распределение в соединении будет антисимметричным. Решим задачу для антисимметричного стационарного состояния при постоянном значении 0о с помощью метода сопряженных полей.
