Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Величина Qt играет роль тепловой силы, соответствующей в данном случае адиабатической температуре на границе. Новый член Ci выражает характеристики поверхностного теплообмена с обтекающей тело жидкостью.
Для выяснения смысла слагаемого Ci рассмотрим линейную задачу, в которой теплоемкость и теплопроводность не зависят от температуры, а вектор Н выражается линейным соотношением (2.3.1) в виде
I
Н = 2Н(0(Л:» у- z)4i- (6.3.8)
Получим:
Нп (Р) = 2 (Р) Яг- Нп (Р) = 2 я<г) (Р) Яг. (6.3.9)
При этом выражение (6.3.6) для С* принимает вид:
(6.3.Ю)
где
сц = J f Н™ (Р) Н<'¦> (Р’) г (Р, Р', t) dApdApi. (6.3.11)
А А
Тепловой потенциал и диссипативная функция в этом (линейном) случае будут:
ч ij
V = ~Y ааЯгЯъ z>= 4" Jj С6-3-12)
Следовательно, уравнения Лагранжа можно записать как
ч^1аИЯоЛ~^1ФиЛ~ Сц) Яо = Qi- (6.3.13)
Они отличаются от линейных уравнений (2.3.14) наличием коэффициентов сц. Эти коэффициенты следует отличать от коэффициентов bij, поскольку первые обычно несимметричны:
сцфсц. (6.3.14)
128
Из определения (6.3.11) видно, что это неравенство вытекает из следующего основного свойства функции влияния:
r(P, Р', t)=?r(P', Р, t) (6.3.15)
и обусловлено движением жидкости. Поэтому свойства взаимности не имеют места в задачах теплопроводности при наличии движения жидкости на границе.
В случае неподвижной жидкости неравенство (6.3.15) заменяется равенством и соотношения взаимности удовлетворяются.
Случай, рассмотренный в § 2.2, когда теплообмен задан локальным коэффициентом теплообмена К, является частным случаем этого общего метода. Он получается, если записать функцию влияния из уравнения (6.2.4) в виде
г(р, Р\ 0 = 7Г^7туЬ{р, П, (6.3.16)
где б(Р, Р')—6(Р', Я) = 0 при Р=?Р'. Следовательно, коэффициенты
Cij = Cji (6.3.17)
симметричны и могут быть введены в диссипативную функцию, как показано в гл. 2.
6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ ДЛЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
В работе [Л. 6-1] автором было показано, что метод сопряженных полей, разработанный в гл. 4, можно обобщить на конвективный теплообмен.
Рассмотрим случай изотропной теплопроводности, не зависящей от температуры. Запишем поле теплового смещения, определяемого уравнением (4.4.4), в виде
H = 9 + F, (6.4.1)
где
0 = — k grad <j>; "I
Ф=Ф(?1. <7*. •••¦ <7„. ¦*. У< 0: | (6.4.2)
F—:F(/i» /2.... fhi X) l/i 2» 0* J
И
divF=0, (6.4.3)
Обобщенными координатами являются v координат и k координат fi. Задача сводится к разделению этих 9—1050 129
двух групп координат в уравнениях Лагранжа. Запишем диссипативную функцию в виде
D—Dq + Dgf + Df, (6.4.4)
где
Dqf = — J J J F grad yds (6.4.5)
т
содержит перекрестные члены. Интегрирование производится по объему т. Интегрируя по частям выражение (6.4.5) с учетом уравнения (6.4.3), получаем
D4f=-\^FndA. (6.4.6)
А
Здесь интегрирование производится по поверхности границы А твердого тела. Для упрощения мы опять будем использовать для обозначения двойного интеграла однократный. Обозначим через Fn внешнюю нормальную составляющую F на границе А.
Уравнения Лагранжа распадаются на две группы:
W+™+Ci = Qi; (6.4.7)
aQi dqt dft
В этих уравнениях Q, и Qi являются термодинамическими силами, сопряженными соответственно с координатами qi и fh возникающими вследствие адиабатической температуры 0а на границе. В соответствии с уравнениями (6.3.6) величины Ci и Q будут иметь вид:
(6.4.8)
= Лг(Л t)r(P, Р', t)dApdAp-
АА^
с*= ДО4г(Л /)r(p’ р>' *)dW
А А
В первой группе уравнений (6.4.7) перекрестные члены будут:
Gl'=^+n~^T(P’ t)Pn(P’’ t)r{P’ Р'’ t]dApdAp’¦
A A
(6.4.9)
Поменяв местами P и P' в выражении (6.4.9), получим:
0,="^Г+Я^г(Р'’t)Pn{P't)r{pr’ p’ t)dApdAp'•
(6.4.10)
J3Q
С другой сторбнь1,
* = S-f-«'+TT- (6'4Л1)
откуда
- f (Я, t)Fn (Р, t) dA . (6.4.12)
aqt J °4i
A
Подставив это значение в уравнение (6.4.10) для @г, получим:
®г = (6.4.13)
А
где
2 = —<|>(Р, O+f0n(P', t)r(P’, Р, t)dAp,. (6.4.14)
А
Координаты Qi и fi разделяются в выражении (6.4.9), если положить <?? = 0, т. е. если выбрать такое if, чтобы оно удовлетворяло граничному условию
<|>(Я, *)= ( 0„(Я', t)r(P', Р, t)dApl. (6.4.15)
А
Легко проверить, что при этом условии, а также если функция влияния г не зависит от 4 координаты <7, и fi разделяются и во второй группе уравнений (6.4.7) Сопряженные поля и аналоговая модель. Рассмотрим температурное поле
0 = 0 (<7Р <72, ..., <7v, л, у, z, t), (6.4.16)
являющееся функцией v обобщенных координат. Оно связано с полем теплового смещения (6.4.1) соотношением
с0 =—div Н. (6.4.17)
Определим поле теплового смещения 0', сопряженное с 0, положив:
H=0' + F, (6.4.18)
где
0' = —k grad if; divF = 0. (6.4.19)
Будем считать, что if удовлетворяет граничному условию (6.4.15). Из этих соотношений получаем:
сО = div (grad if). (6.4.20)
9* 131
При заданном температурном поле -0 это уравнение совместно с граничным условием
Ф(Я, t)= f0'n(P', t)r(P', Р, t) dAp, (6.4.21)
A
полностью определяет г|з. Следовательно, сопряженное поле 0' определяется температурой 0. Используя сопряженное поле, можно отделить v координат qi от циклических координат f; в первом из уравнений (6.4.7).
