Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
6а=6а- (6.5.26)
Теперь определим матрицу общего сопротивления как
[М=Г№- (6-5.27)
При таком определении Хц диссипативная функция
(6.5.23) и уравнения Лагранжа (6.5.22) могут использоваться при изучении турбулентных течений.
Внутренние источники тепла. Во многих задачах необходимо учитывать внутреннее тепловыделение в жидкости. Теплота может выделяться, например, в результате внутреннего трения, химических и ядерных реакций или поглощения излучения. Влияние источников тепла можно учесть с помощью метода, описанного в § 1.6. Введем обозначение
w = w(Xi, х2, х3, t) (6.5.28)
для тепловыделения в единице объема в единицу времени. При этом закон сохранения энергии (6.5.8) запишется в виде
i
* + + (6.5.29)
Это уравнение тождественно удовлетворяется, если положить:
i
Л = = + (6.5.30)
где Н*г должно удовлетворять соотношению
о
Используя эти определения, можно получить уравнения Лагранжа с помощью метода, описанного в § 1.6 Для случая чистой теплопроводности.
139
Смешанные системы «твердое тело — жидкость». Уравнения Лагранжа, полученные в этом параграфе, приводят к формулировке задач теплопроводности и конвекции в смешанных системах, состоящих из твердых частиц и движущейся жидкости. Область интегрирования может содержать как твердые частицы, так и жидкость. В области твердых частиц скорость и, принимается равной нулю, a представляет тепловое сопротивление твердых частиц. Для частиц жидкости, как указывалось выше, учитывается влияние турбулентной диффузии.
Такая унифицированная формулировка может иметь практическое применение для расчета теплообмена в пористых материалах, содержащих движущуюся жидкость.
Принцип минимальной диссипации в конвективном теплообмене*. Уравнения (6.5.22) по форме тождественны уравнениям Лагранжа (1.4.6). Принцип минимальной диссипации, рассматриваемый в гл. 1, зависит только от вида этих уравнений и поэтому может применяться в задачах конвективного теплообмена, если диссипативная функция определяется выражением (6.5.23).
Глава седьмая
ТЕПЛООБМЕН В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
7.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе описывается вариационное исчисление функции влияния и ее применения к ламинарным и турбулентным пограничным слоям. В ней используется материал, первоначально опубликованный в двух статьях [Л. 7-1, 7-2]. Функция влияния является основой расчета конвективного теплообмена. Она также является простой физической моделью для понимания основного механизма, связанного с теплопроводностью и конвекцией в движущейся жидкости.
В § 7.2 показано, что вариационные методы, разработанные для теплопроводности, могут применяться для
* Решение задачи конвективного теплопереноса с помощью метода Био содержится в работе (Л. 6-5]. (Прим. ред.)
140
исследования теплообмена в пограничном слое при использовании аналогии теплопроводности, что позволяет без труда определить функцию влияния, как показано в § 7.3. Приведенный пример показывает также, что этот метод дает точные результаты даже при использовании грубой аппроксимации температурного распределения в жидкости.
В § 7.4 описан общий вариационный метод расчета функции влияния для пограничного слоя. Основные уравнения и параметры представлены в безразмерной форме. В § 7.5 проведен численный анализ ламинарного пограничного слоя. Получено приближенное кусочно-аналитическое выражение для функции влияния в безразмерном виде. Установлено, что на функции влияния не сказываются изменения профиля скорости и поэтому она применима во многих случаях. Сравнение с точным решением еще раз подтверждает высокую точность вариационного метода.
Аналогичное кусочно-аналитическое выражение для функции влияния получено в § 7.6 для турбулентного пограничного слоя. При правильном выборе параметров полученные численные результаты можно считать типичными для теплообмена в пограничном слое. В частности, очень важным является правильное определение такой характеристики пограничного слоя, как его характерная толщина.
Однако, как показано в § 7.7, понятие функции влияния можно использовать для общей формулировки задач теплообмена в пограничном слое. Рассмотрена задача теплообмена в пограничном слое свободного потока. Показано также, что понятие функции влияния при течении в трубе необходимо слегка модифицировать. Наконец, сформулирована задача теплообмена в противоточных теплообменниках.
Практическое значение функции влияния имеет глубокий физический смысл, включающий в себя основные теплообменные свойства жидкостей в виде квазилокаль-ных эффектов в ограниченной области вниз по течению от данной точки. В результате имеем интуитивный подход, совместимый с вариационным анализом.
Особое внимание обращается на число Пекле, являющееся основным физическим параметром — мерой взаимодействия между теплопроводностью и конвекцией в жидкости.
141
7.2. АНАЛОГИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Во многих задачах теплообмена в жидкости существует возможность преобразовать уравнения к виду, полностью совпадающему с уравнениями чистой теплопроводности, что значительно упрощает использование вариационных принципов.
