Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Энтальпия и тепловой потенциал частицы жидкости. Для того чтобы учесть неоднородность жидкости, например наличие в жидкости частиц, отличных по своей природе от жидкости, необходимо применить некоторые рассмотренные ранее понятия для отдельных частиц жидкости. Определим частицы жидкости их начальными координатами Х{ в момент времени t,=0. Координаты х\ этих частиц в момент t будут:
Xi = Xi(X, t), (6.5.1)
где X обозначает три начальные координаты. Поле скоростей жидкости выражается уравнением
vi=Srxi(X, t). (6.5.2)
Считая жидкость несжимаемой, можно определить удельную объемную теплоемкость с жидкой частицы в виде
с = с(Х, 0). (6.5.3)
Она является функцией температуры 6. Предположение
о зависимости с не только от температуры 0, но и от начальных координат X, которые используются здесь для обозначения отдельных частиц, устанавливает влияние на эту величину физической природы частицы жидкости.
Две другие основные величины можно получить с помощью приведенного с:
удельная энтальпия частицы
в
h(X, Q) = fc(X, 6)d6; (6.5.4)
о
удельный тепловой потенциал частицы
е
F(X,b)= \bdh, (6.5.5)
о
где dh = cdQ.
В последующих выводах физические величины будут выражаться как функции времени и фиксированных ко
135
ординат Xi. Разрешая уравнение (6.5.1) относительно Хи пглучаем:
Xi = Xi(x, t), (6.5.6)
где начальные координаты частицы определяются как функции ее координат в момент времени tt. Подставив в уравнения (6.5.2) — (6.5.5) значения начальных координат из (6.5.6), получим эти выражения в виде
Основные физические законы. В основе описания физической природы теплопроводности и конвекции лежат уравнения:
где несжимаемость выражается как \j-^-=0. Уравне-
ние (6.5.8), где fi = dh/dt, выражает сохранение энергии; вектор Ji представляет плотность потока тепловой энергии относительно среды, a Vih — скорость конвекции. Уравнения (6.5.9) являются уравнениями теплопроводности, совпадающими с уравнениями (1.5.6), где %ц=Хц — тензор теплового сопротивления, который может зависеть от х, t и 0.
В результате использования векторного поля теплового смещения Hi(x, t) при определении h и получаем одну важную особенность, выражающуюся уравнениями:
Такое представление тождественно удовлетворяет уравнению сохранения энергии (6.5.8). Следовательно, если в качестве неизвестного физического поля используется величина Я,, необходимо, чтобы она удовлетворяла лишь уравнению теплопроводности (6.5.9). Важно отметить, что в данном анализе уравнение сохранения
(6.5.8) играет роль голономной связи по аналогии с клас-
су о,-(л, t); с = с(х, t, 6); h=h(x, t, 6); F = F(x, t, 0).
(6.5.7)
(6.5.8)
(6.5.9)
Ji = Hi — Vih. (6.5.10)
136
сической механикой. Следует обратить внимаййе на физический смысл вектора
Hi = Ji-\-Vih. (6.5.11)
Этот вектор представляет плотность суммарного теплового потока за счет теплопроводности и конвекции через поверхность, фиксированную в пространстве.
Вариационный принцип и уравнения Лагранжа. Запишем вариационное уравнение
S(^r+S^)OT'=°- <6'5Л2>
Для произвольных вариаций 6Я* это уравнение эквивалентно уравнениям теплопроводности (6.5.9). Проинтегрируем уравнение (6.5.12) по объему т, причем первый член проинтегрируем по частям, используя соотношения
i
s/l==_?jL-8tf,; bF=m, (6.5.13)
полученные из уравнений (6.5.5) и (6.5.10). Получим: j j j bF fa + J j j ^luJjbHidi = - j f 0 ? mbHidA. (6.5.14)
T T A
Интегрирование по поверхности производится по границе А объема т, а га, обозначает внешнюю единичную нормаль к границе. Введем суммарный тепловой потенциал V в объеме т
(6.5.15)
т
При таком определении V уравнение (6.5.14) примет вид:
SV -(- j J j ^ kjJfiHidt — — Ц G 2 n^HidA- (6-5.16)
т А
Уравнение (6.5.16) является обобщением вариационного принципа и может применяться к системам с конвекцией. По форме он аналогичен вариационному принципу для чистой теплопроводности, выраженному уравнениями (1.5.10).
137
Как и ранее, этот принцип можно привести к уравнениям Лагранжа, считая векторное поле #г функцией п обобщенных координат qc
Hi = Hi{q\, qi, .. ., qn, xu x2, x3, t). (6.5.17)
Вариации связаны исключительно с вариациями qi. Они имеют вид:
/
Более того,
<65л9)
В результате получаем соотношение
lt-Ж- <6'5'20)
Следовательно, вариации (6.5.18) можно записать в виде
i
= (6.5.21)
Ы dqi
Подставив в вариационное уравнение (6.5.16) значения б Hi из (6.5.18) и (6.5.21), получим уравнения Лагранжа
&-+?-*• (6-5-22)
При этом диссипативная функция определяется как
и
^ = biW*. (6.5.23)
-5
Тепловое сопротивление здесь также считается симметричным (Xij = Xji) в соответствии с принципом Онза-гера. Тепловая сила, как и ранее, определяется в виде
(6'5‘24)
А
Турбулентное течение. Представленные результаты могут применяться для турбулентных течений однород-
138
ных несжимаемых жидкостей, если ввести тензор
Ku=‘k6ij + cgij. (6.5.25)
В этом выражении: 6ij — символ Кронекера, k и с — соответственно теплопроводность и теплоемкость жидкости, a, <§ij — тензор турбулентной диффузии, так же, как и Xij, удовлетворяющий соотношениям взаимности
