Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом по мере эволюции поля в резонаторе устанавливается некоторое квазистационарное распределение поля, называемое модой резонатора. Распределение комплексной амплитуды поля в поперечном сечении резонатора описывается функциями щ, являющимися решениями интегрального уравнения (2.18). Модуль собственного числа уравнения \щ\ описывает потери г-ой моды. Знание аргумента величины щ позволяет определить из уравнения (2.23) спектр резонансных частот. Исследование резонатора методом интегрального уравнения сводится таким образом к построению и решению уравнения (2.18).
Проиллюстрируем действие данного метода на примере резонатора, образованного лишь гауссовыми оптическими элементами и подробно исследованного в гл. 1.
9 В.П. Быков, О.О. Силичев
130
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Рассмотрим линейный резонатор общего вида, рис. 2.4. Полагая, что геометрия резонатора обладает осевой симметрией, расчет мод будем вести в цилиндрической системе координат. Поскольку известно, что гауссов пучок является модой резонатора с гауссовыми элементами, будем искать решение интегрального уравнения (2.18) в виде:
Upi(r, у) = AQpi(r) • , (2-24)
Qpl(r) = (2^)exp(i^), (2.25)
ГДе 1 =
q R 7tw2
Оператор обхода резонатора L в нашем случае определяется формулой (2.17), где А, В, С, D — элементы лучевой матрицы обхода резонатора, отнесенной к плоскости АА (рис. 2.4), т. е. к плоскости, где ищется поперечное распределение амплитуды моды.
Подставляя в интегральное уравнение (2.18), явный вид оператора L (2.17) и искомую функцию upi в виде (2.24), можно получить, после проведения соответствующих преобразований, уравнение относительно Qpi'.
XpiQpin = — e2tkL° exp (г Ц х
ОО
х J drrQp/(r)J;(|^rri) ехр(г ^г2). (2.26)
О
При выводе этого уравнения было проведено интегрирование по углу ер с помощью интегрального представления функции Бесселя I-го порядка:
Мх) =
2-7Г f ехр[—%х cos(<^i -0 -?>)] COS l(f sin Ip dp
27ггг (—1)г COS Ip sin Ip
(2.26а)
Подставляя в уравнение функцию Qpi в виде (2.25) и используя формулу [33]
J rWe-^2Llp(ar2)Ji(yr)dr =
= (Р ~ а)У , (2.27)
легко показать, что уравнение (2.26) переходит в тождество, и следовательно, гауссов пучок вида (2.24)-(2.25) является модой резонатора с гауссовыми элементами, при выполнении следующих условий.
§2.2. Метод интегрального уравнения в теории резонаторов 131
В случае, когда элементы лучевой матрицы обхода резонатора вещественны (т. е. гауссовые апертуры отсутствуют), р, I ^ 0 и
\(A + D)/2\<1,
т. е. в случае устойчивого резонатора, должны выполняться соотношения:
где
- = - - г л/1 Р, (2.28)
q 2В В у '
xpl = exp(2ikL0)(l - г\Л - 12 )2р+г+1, (2.29)
I = (2.30)
— величина, как легко показать, не зависящая от расположения исходной плоскости А А в резонаторе; Lq — длина резонатора.
Формула (2.28) ранее была получена из правила ABCD преобразования гауссового пучка и определяет величину комплексного параметра моды резонатора в плоскости АА (рис. 2.4).
Из выражения (2.29), определяющего собственные числа интегрального уравнения, легко видеть, что \>cpi \ = 1. Следовательно, потери энергии в таком резонаторе в рамках данной модели отсутст-
вуют.
Аргумент величины xpi можно представить в виде
Spi — 2kLo + j(2p + I + 1), (2.31)
где
7 = arccos(/). (2.31a)
Уравнение (2.23) в этом случае может быть легко решено относительно искомых собственных частот резонатора
= + <2'32)
Легко видеть, что спектр собственных частот резонатора распадается на две части. Одна часть, описываемая первым членом в формуле (2.32), эквидистантна и разница между соседними резонансными частотами равна c/2Lq. Другая часть спектра связана с пространственной структурой моды и зависит не только от длины резонатора, но и от его геометрии. Эта часть также эквидистантна, но расстояние между соседними частотами иное (2.32).
Заметим, что модель, рассмотренная выше, идеализирована в том отношении, что резонатор не содержит ограничивающих апертур. Поэтому лишь решения, сосредоточенные вблизи оси резонатора, амплитуда которых в месте расположения границы апертуры мала, близки к реальным распределениям полей мод.
132
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Если ограничивающая апертура расположена в плоскости АА и имеет радиус Ro, то поскольку размер р, I-ой моды можно приближенно представить в виде api « w^/2p + I + 1, формула (2.24)-(2.25) хорошо опишет моды реального резонатора, при
Найдем следующий корень уравнения (2.26). Рассмотрим случай неустойчивого резонатора, не содержащего ограничивающих апертур. Тогда |/| > 1 и уравнение (2.26) при подстановке (2.24), (2.25) переходит в тождество лишь при р = I = 0 и выполнении следующих соотношений
Из выражения для комплексного параметра q и формулы (2.34) следует, что в этом случае 1 jw — 0 и R\^i — q\^> Такие значения параметров и и Ri^ соответствуют двум сферическим волнам радиуса gi?2 с постоянной амплитудой поля в поперечном направлении. Одна из этих волн является сферической волной, сходящейся к оси резонатора, вторая — расходящейся. Поскольку для обеих волн поле уже не локализовано вблизи оси резонатора, то нельзя не учитывать конечного размера зеркал и других элементов резонатора. Поскольку интенсивность поля на краю апертуры значительна, то дифракционные эффекты могут существенно исказить полученное распределение поля. Позже, при рассмотрении неустойчивых резонаторов, мы вернемся к этому вопросу. Сейчас же лишь заметим, что при определенных условиях, весьма часто встречающихся на практике, расходящаяся сферическая волна достаточно точно описывает основную моду неустойчивого резонатора [10].
