Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
116
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
В заключение первой главы дадим краткий обзор литературы по гауссовой оптике. Количество публикаций по гауссовым пучкам и их применениям огромно; по необходимости мы ограничимся лишь главными и обзорными публикациями на эту тему.
Одной из первых работ по гауссовым пучкам являются работы Гу-бо [14, 15]. Затем в работе Когельника и Ли [16] обсуждается правило ABCD (см. также работу Дешана и Маета [17]). Полезен обзор Когельника и Ли [18], переведенный впоследствии на русский язык в качестве гл. 22 Справочника по лазерам [11]. Более поздние обзоры можно найти в книгах Д. Маркузе [19] и А.М. Гончаренко [20]. Обобщение гауссова пучка — комплексный гауссов пучок (см. § 1.7) — дано в работах Коваленко [21] и Ищенко [22]. Пучки — с вращением поля (§ 1.13, 1.14) рассмотрены в работах Арно и Когельника [23], Панкратовой [24] и Савельева и Хромых [25]. Кольцевой резонатор с анизотропными элементами рассмотрен в работе В.И. Черненького [26].
Важным обобщением теории гауссовых пучков является распространение гауссовой оптики на неоднородные квадратичные среды, из-за недостатка места лишь в малой степени затронутое нами в гл. 4. Это обобщение дано в работах [27-30].
Глава 2
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 2.1. Преобразование параксиальных пучков гауссовыми оптическими системами
Исследование резонатора с учетом дифракционных явлений проводится, в основном, методом интегрального уравнения. Суть этого метода состоит в построении некоторого интегрального соотношения, которое определяет поперечное распределение комплексной амплитуды отдельных компонент вектора электрического или магнитного поля на одном из зеркал резонатора по известному распределению поля на другом зеркале. Этот метод наиболее удобен в случае, когда возмущающее действие отдельных оптически неоднородных элементов на проходящее поле можно описать путем умножения поля на некоторую функцию от поперечных координат. В главе мы коротко обсудим один из возможных вариантов вывода искомых интегральных соотношений, описывающих распространение световых пучков через оптические системы. Обоснуем возможность и целесообразность их использования для целей анализа резонаторов. Рассмотрим с помощью метода интегрального уравнения наиболее важные частные типы резонаторов и методы приближенного решения соответствующих интегральных уравнений, описывающих моды резонатора общего вида.
Прежде чем начать изучение свойств резонаторов с помощью метода интегрального уравнения, напомним некоторые сведения из теории дифракции, которые нам понадобятся в дальнейшем. Рассмотрение вопросов будем вести достаточно конспективно, поскольку имеется большое количество книг по оптике, в которых они изложены полно и ясно [31, 32].
Пусть имеется свободное пространство, разделенное на две части непрозрачным, идеально поглощающим плоским экраном с отверстием S (рис. 2.1). Рассмотрим электромагнитную монохроматическую волну, заполняющую обе части пространства. Тогда каждая компонента вектора электрического или магнитного поля будет описываться функцией вида
ф(г) = и (г) ехр(—icjt), где uj — частота колебаний, а функция и (г) описывает пространствен-
118
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Рис. 2.1. К выводу дифракционного интеграла в параксиальном приближении
ное распределение отдельных компонент электромагнитного поля и является разной для разных компонент.
Согласно скалярной теории дифракции имеется связь, задаваемая некоторым интегральным соотношением, между значением функции и(Р) в плоскости отверстия S со значением и(Р\) в другой точке Р\ пространства. При этом каждая компонента электрического или магнитного поля рассматривается независимо друг от друга. В общем случае так делать нельзя, поскольку различные компоненты векторов электрического и магнитного полей связаны уравнениями Максвелла, и их нельзя рассматривать независимо. Однако теоретический анализ и данные экспериментов показывают, что скалярная теория дает очень точные результаты, если выполняются следующие условия: отверстие в экране велико по сравнению с длиной волны, а точка наблюдения Р\ расположена не слишком близко от экрана. Эти условия хорошо выполняются в задачах теории открытых резонаторов. Поэтому использование при их решении скалярной теории дифракции вполне оправдано. Более полное и строгое обсуждение применимости скалярной теории в оптике можно найти в книге [31].
Существует несколько альтернативных соотношений, связывающих и(Р) и и (Pi). В параксиальном приближении они все сводятся к одному виду. Поэтому для целей теории открытых резонаторов, в которой вполне уместно ограничиться параксиальной оптикой, выбор формы дифракционного интеграла не имеет особого значения. Мы возьмем за основу дифракционный интеграл в форме Рэлея-Зоммер-фельда, поскольку вывод этого соотношения свободен от внутренних противоречий, характерных для другой формы дифракционного интеграла — формулы Френеля-Кирхгофа [32].
Для того чтобы выписать искомое соотношение, введем декартову систему координат, расположенную так, чтобы оси X и Y находились в плоскости экрана, а начало координат лежало в плоскости отверстия
