Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
/А В\ _ (А2 В2\ (Аг ВЛ
\ С d)-{c2 D.jyCx Dx)
и, следовательно, являются элементами лучевой матрицы системы Mq. Тем самым справедливость формулы (2.7) полностью доказана.
Ее справедливость может быть доказана и для более общих гауссовых систем. Например для систем содержащих участки квадратично неоднородной среды, гауссовые апертуры, т. е. апертуры, коэффициент пропускания которых определяется формулой:
Т = ехр(-^±^) (2.12)
и т.д. Для этого достаточно проверить справедливость формулы (2.7) для каждого нового элемента. В частности, для гауссовой апертуры
это можно сделать, не проводя никаких выкладок. Действительно,
полагая
/ = г^, (2.13)
легко видеть, что в этом случае функция, описывающая преобразование поля в тонкой линзе (2.6) переходит в функцию пропускания гаус-
2.1. Преобразование параксиальных пучков
125
совой апертуры (2.12). Поскольку при доказательстве справедливости (2.7) для тонкой линзы нигде не использовался факт действительности фокусного расстояния /, то (2.7) описывает действие гауссовой апертуры (2.12). Следовательно, она справедлива и для гауссовых систем, содержащих произвольное число таких апертур. При расчете лучевых матриц подобных систем, необходимо описывать гауссову апертуру такой же матрицей, как и тонкую линзу, но с фокусным расстоянием (2.13). Лучевые матрицы таких систем содержат комплексные элементы.
Мы уже подчеркивали важность формулы (2.7) для лазерной оптики. В качестве полезной иллюстрации ее использования получим с ее помощью закон преобразования комплексного параметра гауссова пучка, q введенного в первой главе, при прохождении произвольной гауссовой оптической системы.
При этом, для простоты выкладок, ограничимся случаем пучка нулевого порядка, распределение комплексной амплитуды которого в поперечном направлении описывается функцией
и = А0 ехр [г ^ (х2 + у2)] (2.14)
где q — комплексный параметр пучка. Подставим (2.14) в формулу (2.7). Предположим, что входная апертура гауссовой системы имеет размер существенно больший, нежели размер пучка. Тогда в формуле (2.7) интегрирование по площади входной апертуры S можно заменить на интегрирование по всей входной плоскости. Проводя разделение переменных, получим выражение для функции, зависящей только от х:
Ui(xi) = f^BetkLl2 X
+оо
(Ах2 + Dx\ — 2xxi)j.
— оо
Аналогичное выражение имеется для функции Ui(yi). Амплитуда пучка на выходе из системы в этом случае равна:
Ui = Ui(xi) • Ui(yi).
k kD
Вводя коэффициенты /3 = —x\к/В и а = -—Ь -г-=г можно преобразо-
2 q 2 В
вать последний интеграл к виду:
I------ +оо
ui(xi) = \J~iJ^elkL/2exp(i^xi) J dx exp[i(/3x + ах2)],
— ОО
126
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
который может быть легко вычислен с помощью формулы (2.10). Преобразуя полученное выражение, имеем:
u^Xi) = \j^heikL2^bx2^
где
= Шъ- <2Л5>
Учитывая, что для и\(у\) получается точно такое же выражение, распределение комплексной амплитуды пучка на выходе гауссовой системы можно представить в виде:
Щ = А° Aq^B еМ 6ХР [* 27 ^ + У^\ (2Л6)
Из этого следует, что гауссов пучок после прохождения гауссовой системы остается гауссовым. Меняется лишь его комплексный параметр q в соответствии с (2.15). Соотношение (2.15) подробно обсуждалось в первой главе. Здесь лишь подчеркнем, что формулы (2.15) и (2.16) справедливы и в том случае, если оптическая система содержит гауссовые апертуры. При этом элементы лучевой матрицы являются комплексными числами.
Коэффициент ^ ^ ^ в формуле (2.16) описывает изменение амплитуды гауссового пучка за счет изменения его характерного поперечного размера, а также задержку по фазе по сравнению со случаем плоской волны. Если же система содержит гауссовы апертуры, то этот коэффициент описывает также уменьшение амплитуды пучка за счет потерь мощности на ограничивающих гауссовых апертурах.
В заключение перепишем формулу (2.7) в цилиндрической системе координат, в которой удобнее проводить анализ распространения осесимметричных пучков. Для перехода к цилиндрическим координатам (г, ер) достаточно в формуле (2.7) провести замену переменных х = rcosip, у = г simp, х\ — т\ cos(^i, у\ — т\ sin(pi и положить ds = = г dr dkp. Получаем:
Ui {г I, tf I) = - elkL J rdrdf u(r, f) x
s
x exp|^^ [^r2 + Drl — 2rr\ cos((^i — ?>)]}• (2-17)
На этом мы закончим рассмотрение преобразования параксиальных пучков гауссовыми оптическими системами. Отметим лишь, что если необходимо построить уравнение, описывающее преобразование параксиального пучка оптической системой, содержащей негауссовые элементы, то следует так расчленить эту систему на составные части, чтобы негауссовые элементы располагались на входе или выходе
§2.2. Метод интегрального уравнения в теории резонаторов 127
отдельных составляющих оптических подсистем, которые бы содержали лишь гауссовые элементы. Затем для каждой подсистемы строится уравнение (2.7), и зная закон преобразования амплитуды пучка негауссовыми элементами (например, апертурой), можно составить общее интегральное уравнение.
§ 2.2. Метод интегрального уравнения в теории резонаторов
