Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Поворот осей амплитудного распределения как в области малых z, так и в обеих промежуточных областях практически отсутствует, что видно из третьего из соотношений (1.184). В каждой же из областей (1.187) для больших z оси главных кривизн дополнительно поворачиваются на 7г/4.
Имеется также симметричный пучок другого типа, у которого Ъ\ = = b2 = b и zi = —z2 = zq. Поле такого пучка описывается выражением
G
y/(z - ib)2
где
„ _ [(z — ib) + zo ch 2Ф]х2 + 2izo sh 2Фxy + [(z — ib) — zo ch 2Ф]y2 ~ {z-ib)2-z2
Для такого пучка, очевидно, имеем
z = 0, z' = \Jzl + b2, z" = ~\Jzl + b2, /3 = 0.
Угол С определяется соотношением
2 bz
u(x,y,z)= П_____ = exp i ikS(x, у, z) + ikz + iip , (1.188)
tgC =
b2'
Как легко видеть, угол ( изменяет знак при изменении знака z. В соответствии с соотношением (1.176) радиусы кривизны волнового фронта пучка в точке с координатой z равны
ra b = ^/[(z- zo)2 +b2][(z + zo)2 + b2} (1Л89)
(z cos ( + b sin () d= zo v^h^^ + cos2^
Линии главных кривизн при этом развернуты относительно осей ж, у на угол ?, определяемый соотношением
tg 2? = - tg С ¦ th 2Ф = - g2 _2^_ b2 th 2Ф.
Легко видеть, что при изменении знака z, т. е. в симметричной точке с координатой —z, радиусы кривизны имеют те же значения, но только другой знак, а линии главных кривизн развернуты относительно
§1.13. Гауссов пучок с двумя системами главных осей
103
осей ж, у на тот же угол ?, но в другую сторону. Поворот линий кривизны при возрастании z и есть характернейшее свойство гауссова пучка (1.161) вообще и симметричного пучка (1.188), в частности.
Если в точках — z и z разместить астигматичные зеркала с радиусами кривизны, определяемыми соотношениями (1.189), то этот пучок будет собственным для резонатора.
Поперечные размеры симметричного пучка в точке z определяются соотношениями
а его амплитудные главные оси развернуты относительно осей ж, у на угол 77:
Зная матрицу Т1 (1.182) пучка, прошедшего через квадратичный корректор, можно найти параметры q[, q'2 и Ф' этого пучка. Действительно, параметры gi, q2 и Ф связаны с элементами матрицы Т соотношениями (1.162). Поэтому из (1.182) следует
ky/[(z - zo)2 + b2][(z + z0)2 + b2]
z sin С — b cos ? d= zo \Jsh2 2Ф + sin2 ?
cos2 Ф' , sin2 Ф'
Qi Я.2
sin2 Ф cos2 Ф ! n
--------- + ----------- + О
Qi Q2 qi q'2
(—-----M sin Ф cos Ф + В =
\qi qzJ
Вводя обозначения
¦^1,2 = 5 ^1,2 = #1,2 >
приводим эти соотношения к виду
Хг cos2 Ф + Х2 sin2 Ф + А = Х[ cos2 Ф' + X' sin2 Ф', Xi sin2 Ф + Х2 cos2 Ф + С = Х[ sin2 Ф' + Х'2 cos2 Ф', (Хг - Х2) Sin Ф cos Ф + В = (Х[- Х'2) sin Ф' cos Ф'.
Складывая почленно первые два равенства, получим
(Х1+Х2) + (А + С)=Х[+Х^; (1.190)
вычитая почленно из первого равенства второе, получим
{Хх - Х2) соз2Ф + (А - С) = (Х[ - Х^совгФ'. (1.191)
Третье равенство можно записать в виде
{Хг - Х2) вт2Ф + 2В = (Х[ -Х^вн^Ф'. (1.192)
104
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Разделив теперь последние два равенства друг на друга, получим
^2Ф' = _____№ ~ Х2) sin 2Ф + 2В , ч
g (Xi -Х2)со82Ф + {А-С) 1 j
— соотношение, определяющее угол поворота Ф' пучка, прошедшего через корректор. Считая теперь угол Ф' известным, из (1.191) и (1.192) получаем
(Х[-Х'2 = [(Х1 - Х2) cos 2Ф + (А - С)] cos-1 2Ф',
\Х[ -Х'2 = [(Х1 - Х2) sin 2Ф + 2В\ sin-1 2Ф'.
Комбинируя первое из этих равенств с (1.190), получим
Х11а=1-{(Х1+Х2) + {А + С)±
± [(Хг - Х2) cos2$ + (А- С)] cos”1 2Ф'|. (1.195)
Используя аналогично второе из равенств (1.194), получим
-юл., (1.194)
X-
12 = \{(Х1 + Х2) + (А + С)±
±[(Xi — Х2) sin 2Ф + 2В] sin-1 2Ф'|. (1.196)
Таким образом формулы (1.195) и (1.196) совместно с (1.193) выражают параметры пучка, прошедшего через корректор, через параметры падающего пучка.
§ 1.14. Кольцевые резонаторы
Кольцевые резонаторы, подобные изображенным на рис. 1.21, получили широкое распространение в лазерной технике. Главная особенность кольцевых резонаторов заключается в том, что их модами являются бегущие волны, благодаря чему их называют иногда резонаторами бегущей волны. При этом все моды составляют две группы встречных волн, практически не взаимодействующих друг с другом. Поскольку встречные волны по-разному изменяются при вращении кольцевого резонатора (эффект Саньяка), последние нашли широкое применение в лазерных гирометрах.
Оптическим осевым контуром кольцевого резонатора называется луч, который пройдя через все оптические элементы резонатора, замыкается сам на себя. Существуют кольцевые резонаторы как с плоским оптическим осевым контуром (планарные резонаторы), так и с неплоским оптическим осевым контуром (непланарные резонаторы). Теория непланарных резонаторов существенно сложнее и менее развита, чем теория планарных резонаторов, хотя их свойства с практической точки зрения очень привлекательны.
§ 1.14- Кольцевые резонаторы
105
ч-
-X
-у
Рис. 1.21. Кольцевые резонаторы разных типов
Обычно резонаторная задача ставится следующим образом. Задаются расположение и параметры зеркал и других оптических элементов, образующих резонатор. Требуется найти параметры пучка, являющегося основной модой этого резонатора, а также в ряде случаев — близкие к основной высшие поперечные моды. Именно для такой задачи даются ниже расчеты. Однако во многих случаях отыскание мод не является самоцелью, а требуется лишь для оптимизации параметров резонатора с той или иной точки зрения. В этих случаях следует либо аналитически исследовать приводимые ниже формулы, либо численно решать задачу об отыскании мод при разных параметрах резонатора и затем выбирать среди полученных решений наиболее подходящие.
