Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 1.14- Кольцевые резонаторы
111
нительного по сравнению с плоским контуром поворота изображения и поляризации на угол, получивший название угла Берри. Этот дополнительный поворот возникает только от неплоскостности контура. Даже если сами по себе отдельные элементы резонатора не поворачивают ни изображения, ни поляризации, то будучи расположены вдоль неплоского контура они дадут поворот изображения и поляризации. Важная роль угла Берри отмечена в нескольких областях физики.
Основные идеи теории кольцевых резонаторов с неплоским контуром изложим сначала в общей форме, а затем рассмотрим некоторые простые частные случаи. Резонатор произвольного вида можно представить в виде совокупности плеч или сторон. Каждая такая сторона состоит из свободного распространения пучка от одного зеркала до другого и отражения в зеркале в конце стороны. Особенность резонаторов с неплоским контуром состоит в повороте плоскости падения пучка на некоторый угол при переходе от одного зеркала к другому, или от одного плеча к другому.
Итак рассмотрим распространение пучка по одной стороне резонатора с неплоским контуром. Преобразование матрицы пучка То при распространении его в свободном пространстве на длину L описывается соотношением (1.180)
Г = (1 - LTo)-1To;
как нетрудно убедиться, это преобразование, как впрочем и все последующие, оставляет матрицу симметричной. Далее следует поворот пучка вокруг продольной оси на угол (р, равный углу между двумя плоскостями падения. Показатель экспоненты в выражении для поля пучка (1.161) в конце отрезка L можно представить в виде
\гк(х,у)Т' Q = = iik(x',y')T" ,
где ,
ф _ [ cos(p sm ip ~ I — sin ip cos ip
— матрица поворота системы координат на угол ср. Следовательно,
Т" = Ф_1Т'Ф.
Поскольку имеет место равенство
Т" = Ф^Т'Ф = (1 - 1/Ф-1ТоФ)-1Ф-1Т0Ф,
то преобразование при распространении на длину L и поворот на угол ср можно делать в любой последовательности.
Преобразование матрицы Т" при отражении пучка в зеркале состоит из двух операций: квадратичная коррекция (1.182) и изменение знаков недиагональных элементов (1.183). Квадратичная коррекция достигается добавлением к матрице Т" симметричной матрицы К (1.182)
Т'" = Т" + К = Ф^Т'Ф + к.
112
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Изменение же знаков недиагональных элементов — посредством one-
рации Ti = аТ'"а,
где матрица а имеет вид
Объединяя все операции, получаем следующую формулу преобразования матрицы пучка, являющегося результатом прохождения им одного плеча или одной стороны резонатора:
Ti = аф-1 (1 - ЬТо)~1ТоФа + аКа = W(T0, L, К, ф).
На заключительном этапе составляем систему уравнений Тг = Wi(Tq), T2 = W2(T1), TN = WN(TN-1), TN = T0,
где Wi+i (Ti) = W(Ti, Li,ki, (fi) и Li, ki, ipi — параметры плеч резонатора; последняя матрица, как видим, совпадает с исходной, что является естественным условием замыкания пучка после обхода резонатора. Представленная система довольно сложна, но эта сложность является отражением объективной реальности и с ней ничего не поделаешь. Впрочем, эта система остается алгебраической и при наличии ЭВМ вполне разрешима.
В некоторых случаях, например, когда в резонаторе с неплоским контуром все зеркала, кроме одного, плоские, весь контур резонатора можно рассматривать как одно плечо. Тогда нужно положить Т\ — То и для определения параметров пучка получаем уравнение
Tg = аФ ^(1 — LTq) 1ТоФа -Ь olKol,
где Ф — матрица полного поворота на угол Берри после обхода резонатора и L — длина контура резонатора.
Рассмотрим теперь более простой четырех зеркальный резонатор, зеркала которого расположены в вершинах тетраэдра (в общем случае неправильного), а осевой контур составляют четыре из шести ребер тетраэдра (рис. 1.24). Будем считать, что три зеркала в этом резонаторе плоские и одно сферическое с радиусом кривизны R; периметр резонатора пусть равен 2L. Пока, не касаясь поляризации, рассмотрим скалярную теорию резонатора. Как уже отмечалось, при обходе контура резонатора изображение испытывает вращение на угол Берри. В данном случае этот угол равен
2ср = \ + ip2 Н- Рз Н- ^4 (1.199)
— сумме четырех углов, равных углам между плоскостями падения лучей на зеркала и отсчитываемых так, чтобы резонаторный тетраэдр лежал внутри угла.
Рис. 1.24. Четырехзеркальный кольцевой лазерный резонатор с неплоским контуром
§ 1.14- Кольцевые резонаторы
113
Воспользуемся некоторой симметрией такого резонатора. Именно, на контуре выберем точку О, отстоящую от сферического зеркала на расстояние L в обоих направлениях вдоль контура. Модой такого резонатора будет служить, очевидно, симметричный пучок (1.185). Распространяясь от точки О в обе стороны вдоль контура резонатора пучок будет испытывать поворот осей главных кривизн соответственно на углы =Ьср. Следовательно, угол ? во втором из соотношений (1.184) приравняем (р, координату z положим равной L и радиусы кривизны волнового фронта пучка (1.185) приравняем половинам эффективных радиусов кривизны зеркала, в результате получим соотношения
2л/ (1 + Р2)( 1 + Pi) _?_±1,
— [2 cos С + (Pi + р2) sin ?] ± {р2 - Pi)\/sh2 2Ф + sin2 ?
