Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 45

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 113 >> Следующая

Подавляющее большинство оптических элементов, используемых в лазерной технике, с большой точностью можно рассматривать, как гауссовы. Поэтому построение подобного интегрального соотношения весьма важно, как для лазерной оптики вообще, так и для теории резонаторов в частности.
Гауссовы оптические системы в геометрической оптике описываются лучевыми матрицами, с которыми нам уже приходилось встречаться при рассмотрении гауссовых пучков. Изучая преобразование параксиальных пучков оптической системой, изображенной на
Рис. 2.2. К выводу интегрального соотношения, описывающего прохождение пар параксиального пучка через гауссову оптическую систему
рис. 2.2, путем последовательного рассмотрения изменения амплитуды пучка при прохождении участка свободного пространства длиной z\, тонкой линзы и участка длиной и сравнивая получающееся итоговое выражение с лучевой матрицей данной системы, можно получить интегральное соотношение, описывающее распространение пучка через гауссову оптическую систему с геометрической длиной L:
и(рг) = jf dsu{p) х
S
х ехр{* Jb + у+ D(x* + у^ ~~ 2(XXl + УУ1^\ (2-7)
где матрица коэффициентов
м=(с о)
является лучевой матрицей данной оптической системы. Подробный
122
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
вывод соотношения (2.7) можно найти в книге [10]. Покажем, что выражение (2.7) справедливо для любой гауссовой оптической системы.
Доказательство проведем методом математической индукции. Для этого установим, что формула (2.7) правильно описывает преобразование амплитуды пучка простейшими гауссовыми элементами, такими как участок свободного пространства, тонкая линза, сферическое зеркало. Затем покажем, что если формула (2.7) справедлива для двух оптических систем с лучевыми матрицами М\ и М2 расположенными друг за другом, то она справедлива для объединенной системы с матрицей М равной произведению матриц М2 • М\. Тем самым мы докажем, что формула (2.7) справедлива для любой, сколь угодно сложной, оптической системы, образованной участками свободного пространства, линзами, сферическими зеркалами.
Учитывая, что матрица участка свободного пространства длиной z имеет вид
легко видеть, что в этом случае формула (2.7) переходит в выражение (2.4) и, следовательно, справедлива.
Для доказательства справедливости формулы (2.7) в случае тонкой линзы, рассмотрим оптическую систему, изображенную на рис. 2.2, при z\ — z2 — z. Ее лучевая матрица имеет вид:
Необходимо доказать, что при z —> 0 формула (2.7) переходит в (2.6). Из выражения (2.7) имеем:
Учитывая, что в данном случае A — D, а также условие AD — ВС = 1, это выражение можно преобразовать к виду:
(2.8)
Из матрицы (2.8) следует, что при z —>- 0 А —П и Б ->- 0. Поэтому при z —У 0 подынтегральная экспоненциальная функция будет очень быстро осциллировать и, согласно методу стационарной фазы [31] зна-
2.1. Преобразование параксиальных пучков
123
чение интеграла будет определяться, в основном, значением подынтегральной функции в стационарной точке х = х\/А и у = у\/А.
Это позволяет преобразовать выражение (2.9) к виду
= 41™с,{тг +*?>Мт’л) х
S
В нем можно расширить пределы интегрирования на всю входную плоскость, поскольку значение интеграла определяется лишь ближайшей окрестностью стационарной точки • После этого, исполь-
зуя известное интегральное соотношение [33]:
1~.— 2
J dt exp[i((3t + at2)] = J— exp(—j-) (2.10)
— oo
при /3 = 0 можно вычислить интеграл в последнем выражении. После несложных преобразований получим
m'(^i,2/i) = lim{exp(2*b:)exp[i ^ (xf + 2/i)]u(^>^;) }•
Переходя в этом выражении к пределу при z —У 0 и учитывая при этом явный вид элементов лучевой матрицы (2.8), получаем формулу тождественную (2.6). Следовательно, формула (2.7) правильно описывает прохождение параксиального пучка через тонкую линзу и отражение от сферического зеркала.
и(х,у) и2(х2,У2) Ui(xi,yi)
Рис. 2.3. Разложение сложной оптической системы на две более простые
Рассмотрим теперь оптическую систему Mq (рис. 2.3), состоящую из двух гауссовых подсистем Mi и М2. Предположим, что для каждой подсистемы формула (2.7) справедлива. Докажем, что в этом случае она справедлива и для всей системы в целом. Тем самым доказательство справедливости формулы (2.7) для гауссовой системы общего вида будет завершено.
124
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Пусть и(х,у) — амплитуда поля, падающего на систему Mi, У2) — амплитуда волны на входе системы М2 и ui(xi,yi) — амплитуда на выходе всей системы. Тогда согласно (2.7) имеем последовательно:
U2(X2,V2) = J dsii(x, у) X
S
х ехр{* 2§Г +у2} + D^xl +у1) - 2(жж2 +уу2)]| (2.11)
И
+ оо
Ul(xi,yi) = -J^etkb2 JJ dx2dy2U2(x2,y2) X
— 00
x ехр{* 2§7 lA*(xl + vl) + D2ix\ +yl) - 2(Ж1Ж2 +У1У2)]}, (2.11a)
где A\^25 ^1,2; ?*1,2 — элементы лучевых матриц систем Mi и М2,
соответственно. Интегрирование в последнем выражении ведется по всей плоскости, разделяющей подсистемы М\ и М2, так как мы полагали, что общая система является гауссовой и, следовательно, не содержит внутри себя ограничивающих апертур. Подставляя формулу (2.11) в (2.11а), проводя интегрирование по переменным ж2, У2 с помощью (2.10) и осуществляя необходимые преобразования, получаем выражение (2.7); в котором коэффициенты А, В, С, 1} определяются соотношением
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed