Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 47

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 113 >> Следующая

Применим теперь соотношения, описывающие преобразование параксиальных световых пучков оптическими системами и введенные в предыдущем параграфе, для исследования открытых резонаторов.
Рассмотрим открытый резонатор общего вида (рис. 2.4). Построим, согласно методике предыдущего параграфа, интегральное соотношение, описывающее изменение пространственного распределения комплексной амплитуды параксиального пучка при обходе ^ис- 2-4- Схема исследуемого резо-резонатора, начиная с некоторой натора
плоскости А А. Для удобства записи обозначим это интегральное соотношение в виде некоторого интегрального оператора L. Чуть позже мы выпишем явный вид этого оператора, сейчас же выясним, как можно использовать его для исследования свойств открытого резонатора.
Рассмотрим интегральное уравнение на собственные значения
щщ = Ь(щ) (г = 0,1, 2,...).
(2.18)
Коэффициенты щ, при которых это линейное уравнение имеет нетривиальное решение, называют собственными числами интегрального уравнения (2.18). Пронумеруем их в порядке убывания абсолютной величины
\ы ^ l^i I ^ N1 ^
Функции щ, соответствующие данным значениям щ, называются собственными функциями интегрального уравнения. Важной особенностью набора функции щ является возможность представления пучка с произвольным поперечным распределением амплитуды чр в виде:
ф = '^2/aiui' (2.19)
128
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Здесь следует сделать небольшое замечание по поводу последнего утверждения, так как на этот счет имеется целый ряд противоречивых суждений [10, 34-36]. В математике такое свойство набора функций щ называется полнотой в некотором классе функций. Не каждый интегральный оператор, описывающий прохождение поля по резонатору, порождает полный дискретный набор собственных функций. При наличии дифракционных потерь дискретный спектр оператора L должен быть дополнен системой собственных функций, собственные значения которых образуют непрерывный спектр. В литературе уделено большое внимание проблемам, связанным с разложением по такой расширенной системе собственных функций. В частности, можно порекомендовать книгу [37]. Однако в нашем случае эти обстоятельства не имеют особого значения. Известно [38], что путем сколь угодно малого изменения вида оператора L можно добиться того, что новый оператор уже будет обладать полным набором собственных функций. Так как любой физический процесс мы всегда описываем приближенно (например, используем параксиальное приближение и проч.), то в случае, если L не обладает полным набором функций щ, его всегда можно немного изменить, не нарушая точность рассмотрения так, чтобы новый оператор обладал требуемым свойством.
Вернемся к выражению (2.19). Предположим, что в резонатор запущен пучок с поперечным распределением амплитуды, описываемый функцией гр. После обхода резонатора, с учетом (2.18) и (2.19) имеем
Очевидно, что поперечная структура пучка меняется по мере обходов резонатора и при п —> оо стремится к распределению, описываемому функцией ит, для которой, с одной стороны, ат ф 0, а с другой \ят\ больше всех прочих коэффициентов в разложении (2.19).
Таким образом, получаем, что первоначальное поле в резонаторе, по мере обходов резонатора, эволюционирует, стремясь к некоторому стационарному, с точки зрения поперечной структуры, полю, описываемому одной из собственных функций оператора L. Такие установившиеся, стационарные структуры в резонаторе называют поперечными модами резонатора. Изучение резонатора в значительной степени сводится к изучению его модовой структуры.
Поскольку уравнение (2.18) описывает поперечные моды резонатора, выясним физический смысл коэффициентов щ. Заметим, что плотность мощности пучка пропорциональна квадрату модуля комплексной амплитуды \ui\2 [31]. Следовательно, мощность пучка Р, соответствующего моде резонатора в плоскости А А, определяется соот-
После n-го обхода резонатора
(2.20)
§2.2. Метод интегрального уравнения в теории резонаторов 129
ношением:
Pi = к0 J ds \щ\2, (2-21)
s
где интегрирование ведется по всей плоскости А А, а коэффициент к0 не зависит от распределения поля в пучке и является постоянной величиной. После обхода резонатора мощность пучка составит
Pl = k0J ds\L(Ui)\2.
s
Из этого соотношения, с учетом (2.18), получим:
Р[ = Ы2Р-
Вводя величину потерь г-ой моды резонатора за время обхода резонатора ai = (Pi — Pi)/Pi имеем:
cti = l — Ы2. (2.22)
Таким образом, модуль г-го собственного значения интегрального уравнения (2.18) характеризует потери мощности г-ой моды резонатора.
Аргумент собственного числа щ несет информацию о собственных, резонансных частотах резонатора. Представим коэффициент в виде щ — \щ \ ехр(г^). Для нахождения резонансных частот резонатора достаточно, чтобы фаза волны, соответствующая моде резонатора, менялась при обходе резонатора на величину кратную 27г. Т. е. должно выполняться условие
5i = 2Trq (q = 0, ±1, ±2,...). (2.23)
Условие удовлетворяется лишь при определенной длине волны А* или, что эквивалентно, частоте колебаний щ = с^/27г. Поэтому решая уравнение (2.23), можно найти спектр резонансных частот исследуемого резонатора.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed