Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
2.1. Преобразование параксиальных пучков
119
(рис. 2.1). Тогда согласно формуле Рэлея-Зоммерфельда
u{Pl) = ^ fu{P) ^Ш coseds, (2.1)
л J Р
S
где ds — элемент площади отверстия, р — расстояние между точкой отверстия Р и точкой наблюдения Pi, & = cj/c = 27t/A, с — скорость света, А — длина волны излучения, в — угол между осью z и направлением от точки Р к точке Р\. Интегрирование ведется по площади отверстия S.
Выражение (2.1) можно существенно упростить, если предположить, что расстояние между отверстием и точкой наблюдения Р\ существенно больше максимального размера отверстия S и максимального размера области наблюдения, расположенной вблизи оси z (рис. 2.1). Эти предположения соответствуют условиям параксиально-сти в оптике и вполне оправданы в резонаторных задачах, поскольку в открытых резонаторах расстояние между зеркалами, как правило, значительно превышает размеры ограничивающих излучение апертур. Из рис. 2.1 следует, что
P = z]jl+{x-xi)2 + {y-yi)2. (2.2)
В соответствии со сделанными предположениями \х — х\\ и |у —
— 2/i | z. Можно разложить функцию (2.2) в ряд Тейлора и ограничиться в разложении лишь величинами второго порядка малости:
p = z[l+{x-xi)2+}y-y')2\ (2.3)
С учетом этого формулу (2.1) можно существенно упростить. Причем в знаменателе можно ограничиться лишь первым членом разложения (2.3), т. е. положить р — z, a cos# = z/p « 1. В экспоненциальном же члене нельзя ограничиться значением р ~ z, так как возникающая погрешность в величине р умножается на очень большое число к = 27г/А и неточность расчета фазы становится сравнимой или даже большей 7г. Поэтому в экспоненте следует использовать р в виде (2.3). С учетом этого, формула (2.1) преобразуется к виду:
u(Pi) =Jи(Р) ехр|г [(ж — xi)2 + (у — yi)2]| ds. (2.4)
s
Такое упрощение дифракционного интеграла (2.1) называют приближением Френеля. Очевидно, что оно должно достаточно точно описывать ситуацию, если максимальное изменение фазы экспоненты, вносимое членом более высокого порядка в разложении корня (2.2), много меньше 7г. Это условие выполняется, если:
z3»max[{x~xi)2 + {y-yi)2]2. (2.5)
4А 4 '
120
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Заметим, однако, — это условие является достаточным, но не необходимым для того, чтобы вклад в интеграл (2.1) от членов более высокого порядка в разложении квадратного корня был мал. Если условие (2.5) не выполнено, то при изменении координат точки Р экпоненциальный множитель в выражении (2.1) будет очень быстро осцилировать и основной вклад в интеграл будут давать только те точки отверстия, которые расположены вблизи точки х = xi, у = у\. В этой области скорость изменения фазы в экспоненте минимальна. В окрестности этих точек величиной фазового члена более высокого порядка можно пренебречь. Поэтому и в этом случае приближение (2.4) вполне оправдано. Формула (2.4) является основной в теории открытых резонаторов.
Подчеркнем, что мы рассматриваем лишь монохроматические волны. Это волны, амплитуда которых и в каждой точке пространства неизменна. Следовательно, формула (2.1) или (2.4) не описывает процесс распространения поля от отверстия до точки Р\, а устанавливает лишь связь в один и тот же момент времени между пространственным распределением поля в плоскости отверстия экрана и значением данной компоненты поля в точке наблюдения Р\. Часто, обсуждая те или иные задачи дифракции, говорят о распространении волны, о дифракции ее на апертуре и проч., подразумевая, что имеется некоторый немонохроматический пучок, который распространяясь по пространству, встречает препятствия, например, экран с отверстием, и, проходя через это препятствие, искажается. Причем искажения описываются формулой (2.1) или (2.4). Такая терминология в случае параксиальных, квазимонохроматических пучков (амплитуда медленно меняется по сравнению с членом ехр(—iuot)), оказывается вполне оправданной. Это следует из рассмотрения дифракционного интеграла для нестационарных пучков [31, 32], который в данном случае сводится к виду (2.4). Более подробно с этим вопросом можно ознакомиться в книге [31]. Здесь же лишь отметим законность терминологии, по которой мы будем в дальнейшем, используя интеграл (2.4), говорить о распространении соответствующих параксиальных пучков. Таким образом, формула (2.4) описывает изменение пространственного распределения комплексной амплитуды поля и при распространении волны от экрана до плоскости наблюдения.
Рассмотрим теперь прохождение параксиального пучка через идеальную тонкую линзу и отражение его от сферического зеркала. Поле после прохождения таких элементов имеет вид:
и'(х,у) = и(х,у)ехр -г-^(х2+у2) , (2.6)
где и(х,у) описывает распределение поля подающей волны. При отражении от зеркала с радиусом кривизны R величину / в этом выражении следует заменить на R/2.
2.1. Преобразование параксиальных пучков
121
Формулы (2.4) и (2.6) описывают прохождение параксиального пучка через простейшие гауссовы оптические системы, а именно участок свободного пространства (2.4), тонкую линзу, сферическое зеркало (2.6). Можно построить интегральное соотношение, описывающее распространение параксиального квазимонохроматического пучка по гауссовой оптической системе общего вида.
