Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Собственные частоты основной моды неустойчивого резонатора легко получить из уравнения (2.23) и формулы (2.35):
Потери основной моды, как следует из формул (2.22) и (2.35) рав-
Смысл этого соотношения легко понять, если представить сферическую волну с радиусом R\^ в виде пучка лучей с координатами (x,x/Ri^)- Поскольку сферическая волна является модой резонатора, то после обхода резонаторов получим
(2.33)
D — А 2 В В
(2.34)
хоо = exp(2i&L0) (/ ± л/12 — 1) 1.
(2.35)
(2.36)
ны
«00 = 1 - [I - sign(/) VI2 — 1 ]2-
(2.37)
2.3. Интегральное уравнение резонатора
133
Введем величины — х\/х = А + В/С учетом (2.34) имеем
М1)2 = /±sign(/)\/P-l.
Величину |Mi| > 1 называют коэффициентом увеличения неустойчивого резонатора. Она показывает, во сколько раз возрастает поперечный размер поля после обхода резонатора. Поскольку площадь поперечного сечения пучка возрастает в М2 раз, то плотность мощности на апертуре падает в М2 раз и, следовательно, мощности пучка до и после обхода резонатора связаны соотношением Р± = М2Р2. Потери моды
а00 = (Pi - P2)/Pi = 1 - Mf2 = 1 - М2,
что согласуется с формулой (2.37). При приближении резонатора к устойчивой конфигурации / —у 1, —У 1 и потери стремятся к нулю.
Перейдем к рассмотрению последнего случая, когда резонатор содержит гауссовые апертуры и поэтому лучевая матрица обхода резонатора имеет комплекснозначные элементы.
Тогда уравнение (2.26) переходит в тождество для любых р,1 ^ О и выполнении условий (2.28) и (2.29) при
w2 = ±— ; 1 (2.38)
независимо от величины I. Следовательно, в резонаторах, содержащих лишь гауссовые элементы (в том числе и гауссовые апертуры) моды описываются соответствующими гауссовыми пучками (2.24)-(2.25) с учетом (2.28), (2.29) и (2.38). При этом, в силу комплексности элементов А и D значение w (2.38) также является комплексным. Поэтому структура полиномов Лагерра Llp(2r2/w2), а следовательно, и структура поперечных мод ненулевого порядка, становится достаточно сложной. В частности, у таких мод фазовый фронт не является в общем случае сферическим и не совпадает с поверхностью концевых зеркал резонатора (см. §2.1, а также [30].
Потери щр мод такого резонатора определяются выражением
(2.22), которое с учетом (2.29) приобретает вид,
aip = l-\l - л/Р-1\2{2р+1+1). (2.39)
Резонансные частоты даются выражением (2.32), при условии замены величины 7 на
i = Arg(/ - Vi2 -1) • (2.40)
На этом мы закончим исследования резонатора, образованного гауссовыми оптическими элементами. Оно не может претендовать на полноту, однако, позволяет понять возможности и алгоритм применения метода интегрального уравнения при анализе лазерного резонатора.
134
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
§ 2.3. Интегральное уравнение резонатора, содержащего негауссовые оптические элементы
Из результатов первой главы и предыдущего параграфа следует, что метод гауссовых пучков дает исчерпывающую информацию о свойствах резонатора, образованного лишь гауссовыми оптическими элементами. Однако на практике в резонаторах часто приходится использовать элементы, которые по своим оптическим свойствам не являются гауссовыми. К таким элементам лазерного резонатора, как правило, относятся ограничивающие апертуры, оптические элементы управления, активный элемент (АЭ) и т.д. Причем наибольшие искажения вносит, в подавляющем числе случаев, АЭ, поскольку из-за накачки, неравномерного нагрева и охлаждения, дефектов материала оптические неоднородности в нем выражены весьма ярко.
Наиболее удобным методом расчета резонатора, содержащего негауссовые оптические элементы, является метод интегрального уравнения. Он получил в таких задачах широкое распространение в силу своей универсальности, возможности использования разнообразных численных методов. В соответствии с этим, в настоящем параграфе построим и обсудим интегральное уравнение, описывающее моды резонатора, содержащего негауссовый оптический элемент.
Будем полагать, что влияние оптических аберраций одного из элементов резонатора является решающим, т. е. аберрациями остальных
Рис. 2.5. Схема линейного несимметричного резонатора с негауссовым оптическим элементом Т
элементов можно пренебречь. Тем самым мы приходим к модели резонатора, содержащего лишь один негауссов оптический элемент Т (рис. 2.5).
Предположим далее, что помимо аберрационного элемента, все остальные элементы резонатора обладают осевой симметрией. Поэтому построение соответствующего интегрального уравнения проведем в цилиндрической системе координат.
Пусть действие негауссового элемента Т на проходящее поле опи-
2.3. Интегральное уравнение резонатора
135
сывается умножением поля на функцию:
F = То ¦ T(r, ip), (2.41)
где множитель
т = I1, г ^ Ro’
° \о, г > Ro
описывает действие ограничивающей круглой апертуры радиуса Ro, а функция T(r,ip) искажения поля, как амплитудные, так и фазовые, вызванные оптическими неоднородностями аберрационного элемента Т.
Введем две системы цилиндрических координат (ri,cpi) и (г 2,^2) с общей осью 2, совпадающей с геометрической осью резонатора. Плоскость (ri,<?i) совпадает с плоскостью АА (рис. 2.5), плоскость (г2,^2) — с плоскостью А'А'. Пусть распределение амплитуды р, /-ой моды резонатора в плоскости АА описывается функцией После прохождения аберрационного элемента Т, в соответствии с (2.41), имеем u'pl = F • upi.
