Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
(1.200)
(*<=??&)•
где Pi,2 — bi,2/Ь, й = R/2L, R — радиус кривизны сферического зеркала и $ — угол падения пучка на сферическое зеркало. Эти соотношения являются уравнениями, определяющими параметры основной моды резонатора Р\^ и Ф; умножая почленно друг на друга равенства (1.200) и деля их друг на друга также почленно, получаем
4(1 + Pl)0- + р2) = (^
[2 cos С + (Pi + Р2) sin С]2 - (Pi ~ Pi)2(sh 2Ф + sin2 ?)
[2 cos С + (/31 + /За) sin С] + (fo - /?i)\/sh2 2Ф + sin2 С _ cQg2 f
(1.202)
[2 cos С + (Pi + P2) sin ?] — (J32 — Pi)\Jsh2 2Ф + sin2 ?
Из последнего равенства получаем
К = 2Ф + апг с ^ 12 cZi + (!‘ ’‘“ЯГ ‘ * ¦ f1-2»3)
v (Pi — /^2)(1 + cos2
Подставляя это выражение в (1.202), получим
1 + т-^ = 1-^1 а-зо4)
1 + Р\ 1+^2 ^C0S ^
— простое соотношение, связывающее между собой параметры Pi и Р2 вне зависимости от угла Берри ip или параметра Ф.
Используя теперь (1.201) и (1.203), получим второе соотношение для определения ft и^
2*2,
2 . 2 о 1 ( 1 1 \2?2COS2$ , ч
*”2f = 1-(ття-т+й) <L205>
где
а2 — (1 + /?i)(l + ^2)/(1 — Р1Р2)2 •
8 В.П. Быков, О.О. Силичев
114
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Разрешая уравнения (1.204) и (1.205) относительно /3\ и /?2 и определяя параметр Ф в соответствии с (1.201), находим гауссов пучок с вращением поля, являющийся модой рассматриваемого резонатора.
Уравнения (1.204) и (1.205) могут иметь несколько корней. Среди них нужно отобрать те, которые при (р —> 0 переходят в известные корни, соответствующие пучкам без вращения. В связи с этим рассмотрим предельный переход ср —у 0. При ср = 0 уравнения (1.204) и (1.205) принимают следующий вид:
1 1 sin2 # 11 1 + cos2 #
1 + /З2 1+^2 ^C0S ^ 5 1+^1 1+^2 ^ C0S ^
из них без труда получаем
1 + /52 = S cos 1?, 1 + Щ = й cos-1 $,
Pi = л/^cos^ — 1, /?2 = л/ й cos-1— 1, (1.206)
где чертой сверху отмечено то, что эти решения соответствуют (р = 0.
Теперь по теории возмущения найдем решение при ср ф 0, но малом. Замечаем, что согласно (1.204)
Д(1/(1 + /?2)) = -Д(1/(1 + /?22)),
где А означает приращение величины в скобках, обусловленное отличием (р от нуля. Кроме того из-за малости sin2 2(р в а2 (1.205) можно использовать невозмущенные значения f3f и (1.206). Таким образом, получаем
\о_ sin2 $ cos $
8л/? cos $ — 1[1 — у/(6 cos $ — 1)(6 cos-1 $ — 1)] ’
д/з2 =-------- ~s3si;4 ;
8 cos3 cos-119 — 1[1 — y/(S^J^Tj(S^^J^T)] отметим, что эти выражения переходят друг в друга при замене cos$ —>¦ cos-1'#. Разумеется случай малых (р имеет и самостоятельное значение.
Рассмотрим простейший тип резонатора с неплоским контуром, свойства которого проясняют физическую картину происходящих в подобных резонаторах явлений. Пусть резонатор образован четырьмя плоскими зеркалами, расположенными в вершинах тетраэдра, четыре ребра которого образуют оптический осевой контур кольцевого резонатора. В одной из сторон осевого контура имеется фокусирующая линза. Поскольку ни плоские зеркала (даже при наклонном падении), ни линза не обладают астигматизмом, то собственным пучком такого резонатора будет лагерр-гауссов пучок (1.115) с перетяжкой на противоположном ребре осевого контура, при этом расстояние от перетяжки до линзы в обоих направлениях вдоль контура одинаково и равно L (длина контура — 2L).
§ 1.14- Кольцевые резонаторы
115
Полагая z = ±L в выражении для лагерр-гауссова пучка (1.118), приходим к распределениям слева и справа от линзы:
“(r^'±L> = ^T
л/62 + L2
=Ьг&
х ехр
—I—¦? Ь> Т.г*2 Т,
=F г(|ш| + 2п + 1) arctg — =Ь i&L + гш(у? =Ь Аф) + itfj
2(Ъ2 + L2) ^ 4 1 у ь 6
(1.207)
где поворот на угол Берри распределения поля учтен как изменение на А ер для двух пучков. Линза с фокусным расстоянием
согласовывает волновые фронты двух пучков, и в результате приходим к равенству
V - + (N+2w+1) arrta. L mc A,~
Vmnq ~ 2L+ 27tL arctg b 27tL b<P-
Таким образом, частота моды рассматриваемого резонатора имеет дополнительную зависимость от азимутального индекса ш, причем не от модуля ш, а от самого индекса ш. Это означает, что собственная частота моды ушпд изменяется при изменении знака ш и поэтому в рассматриваемом резонаторе модами являются волны, бегущие по азимуту
exp[i(m<p - 27rz/mngt)J, или в вещественной форме
sm
cos
(ТП(р C2'KVrnnqt).
За один период поля они испытывают поворот по азимуту на угол 27г/ш (ш Ф 0).
Это обстоятельство многое проясняет в свойствах резонаторов с неплоским контуром. Действительно, представим теперь, что одно из плоских зеркал, образующих рассмотренный резонатор, немного деформировано и стало сферическим; тогда из-за наклонного падения на него пучка появится астигматизм. Ясно, что небольшая деформация от плоского зеркала к сферическому не уничтожает полностью вращение поля по азимуту. По существу возникнут два эффекта. Во-первых, азимутальное движение по круговым траекториям деформируется и сменится движением по овалам или эллипсам. Во-вторых, поскольку теперь из-за астигматизма возникли неоднородности в азимутальном движении, волна уже не будет полностью бегущей, возникнет некоторая суперпозиция бегущей и стоячей по азимуту волн. При большей деформации зеркал эти явления будут усиливаться. Замечательно, что эти довольно сложные явления описываются сравнительно простыми эрмит-гауссовыми пучками (1.207).
