Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
138
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
полагать для простоты, что L\ = = Lq). Поэтому будем искать
решение системы в виде
Qipi — ipiQpi'
Подставляя его в уравнения (2.47а) и (2.476), проводя необходимые преобразования, легко показать, что оно удовлетворяет системе при условии
IpiQpifa) = N(~i)l+1 е2гкЬо х
1
х J dtitiT(ti)Qpi(ti)Ji(27rNtit2)exp[i7rNA(t‘l+tl)\ (2.49) о
и
'Jpi — yjKpi. (2.50)
Тем самым, в случае симметрии лучевых матриц обхода плечей резонатора, система уравнений (2.47а), (2.476) сводится к одному интегральному уравнению (2.49). Собственные числа этого уравнения связаны с собственными числами мод резонатора xpi соотношением (2.50).
Из уравнения (2.49) ясен физический смысл величины 7р/. Ее модуль определяет потери р, I-ой моды при обходе одного плеча резонатора равные 1 — |7р/|2. Из (2.50) следует также, что потери моды при обходе правого и левого плеча резонатора в рассматриваемом случае одинаковы, а потери за обход резонатора равны 1 — |7Р/|4.
Легко показать, что уравнение (2.49) при Т — 1 описывает также моды симметричного резонатора, образованного зеркалами равной конечной апертуры (рис. 2.6). Для этого концевое зеркало с радиусом кривизны R представим в виде плоского зеркала, вплотную к которому расположена ограничивающая апертура, размером равным размеру концевого зеркала, и линзы с фокусным расстоянием / = R (рис. 26, б). Лучевая матрица
А В\
С А)
описывает прохождение лучей от одного плоского зеркала до другого (рис. 2.6, б). Из рис. 2.6 очевидно, что проход резонатора (б) эквивалентен обходу резонатора (д) и обходу плеча резонатора (в). Но обход плеча резонатора (в) описывается уравнением (2.49). Поэтому уравнение (2.49) при Т — 1 связывает распределение поля на плоских зеркалах в первоначальной схеме резонатора (б). Величина 7v\ определяет потери мод за проход резонатора, обусловленные дифракцией на концевых зеркалах с конечной апертурой.
Этот же результат можно, естественно, получить и формальным образом, записав соответствующее интегральное уравнение исходя из формулы (2.17) и проведя необходимые преобразования.
2.3. Интегральное уравнение резонатора
139
R R
г
Рис. 2.6. Эквивалентность симметричного резонатора с зеркалами конечного размера резонатору с внутренней диафрагмой
Рассмотрим еще один важный частный случай, когда одно из плеч резонатора, например, левое, представляет собой плоское зеркало, расположенное вплотную к аберрационному элементу Т (рис. 2.7). Тогда очевидно, что поле Qpl в плоскости А А, после обхода резонатора, связано с распределением амплитуды моды в плоскости А'А' соотношением:
Qpi = T(h)Qipi(t2)-
Учитывая также, что должно выполняться условие Q'p[ = r>piQr>i полу-
140
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Q Q' А А'
А В С А
А
А'
Рис. 2.7. Плоскосферический резонатор с негауссовым оптическим элементом Т
чаем, с помощью выражения (2.47а), уравнение, определяющее моды данного резонатора
PpiQpi{h) = 27riVi (—г
;\1+1е21кЬг х
_L
х Jdt1t1T(t1)T(t2)Qpi{ti)Ji(2'KN1t1t-2)exv[i'KN1A1(t\+t2)\- (2.51)
о
Собственные значения данного уравнения определяют, в соответствии с формулами (2.22) и (2.23), потери мод и резонансные частоты резонатора.
На этом мы закончим построение интегральных уравнений, описывающих резонаторы основных типов. Отметим, что хотя все вычисления мы вели в цилиндрической системе координат, используя формулу (2.7), легко переформулировать все полученные соотношения в декартовой системе координат. Выбор той или иной системы координат, как уже отмечалось ранее, обусловлен исключительно соображениями удобства и связан со спецификой симметрий, имеющих место в анализируемом резонаторе.
§ 2.4. Конфокальный резонатор
Как мы убедились в предыдущем параграфе, уравнения, описывающие моды резонатора, достаточно сложны. Методы их аналитического решения, как правило, неизвестны. Поэтому при расчете модовой структуры резонаторов приходится прибегать к численным методам, использовать ЭВМ. Редким исключением из этого правила является так называемый конфокальный резонатор, о котором уже упоминалось в первой главе. В дальнейшем, под конфокальным мы будем, подразумевать всякий резонатор, который описывается интегральным уравнением (2.49) или (2.51) при Т = 1, и в котором диагональные элементы лучевой матрицы прохода или обхода резонатора
§2.4- Конфокальный резонатор
141
равны нулю
А = 0.
(2.52)
Моды такого резонатора описываются известными специальными функциями, которые, хотя и не представимы в аналитическом виде, но могут быть представлены в виде достаточно быстро сходящихся рядов и для которых составлены подробные таблицы.
Знание модовой структуры конфокального резонатора позволяет, с одной стороны, понять физические особенности поведения мод резонатора с ограничивающей апертурой, а с другой, дает возможность провести тестирование программ численного решения уравнений в случае резонатора общего вида, что очень важно с практической точки зрения. Кроме того, существует целый ряд приближенных методов расчета резонаторов общего вида, базирующихся на знании модовой структуры конфокального резонатора [40]. Эти обстоятельства определяют исключительно важную роль изучения конфокального резонатора в теории лазерных резонаторов. Поэтому уделим данному типу резонатора отдельный параграф и проведем анализ его модовой структуры достаточно подробно. При этом, тем не менее, постараемся избежать громоздких математических выкладок и доказательств, отсылая интересующихся читателей к соответствующим работам по математике [41, 42].
